Номер 159, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

159*. Упростите выражение $\frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{28^{-n}}$, где $n \in N$.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить преобразования его частей, используя свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{28^{-n}} $$

Шаг 1: Упрощение первой дроби

Рассмотрим числитель первой дроби $7^{n+1} + 7^n$. Вынесем за скобки общий множитель $7^n$, используя правило $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$$ 7^{n+1} + 7^n = 7^n \cdot 7^1 + 7^n = 7^n(7 + 1) = 8 \cdot 7^n $$

Теперь подставим это выражение обратно в первую дробь:

$$ \frac{8 \cdot 7^n}{8^{n+1}} $$

Используя то же свойство для знаменателя, $8^{n+1} = 8^1 \cdot 8^n$, получим:

$$ \frac{8 \cdot 7^n}{8 \cdot 8^n} = \frac{7^n}{8^n} $$

Шаг 2: Упрощение второй дроби

Рассмотрим вторую дробь $\frac{2^n}{28^{-n}}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$$ \frac{2^n}{28^{-n}} = \frac{2^n}{\frac{1}{28^n}} = 2^n \cdot 28^n $$

Шаг 3: Перемножение и финальное упрощение

Теперь перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$$ \frac{7^n}{8^n} \cdot (2^n \cdot 28^n) = \frac{7^n \cdot 2^n \cdot 28^n}{8^n} $$

Для дальнейшего упрощения разложим числа 8 и 28 на простые множители:

• $8 = 2^3$, поэтому $8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$.
• $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$, поэтому $28^n = (2^2 \cdot 7)^n = (2^2)^n \cdot 7^n = 2^{2n} \cdot 7^n$.

Подставим эти разложения в наше выражение:

$$ \frac{7^n \cdot 2^n \cdot (2^{2n} \cdot 7^n)}{2^{3n}} $$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя правило $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$$ \frac{(7^n \cdot 7^n) \cdot (2^n \cdot 2^{2n})}{2^{3n}} = \frac{7^{n+n} \cdot 2^{n+2n}}{2^{3n}} = \frac{7^{2n} \cdot 2^{3n}}{2^{3n}} $$

Сократим общий множитель $2^{3n}$:

$$ 7^{2n} $$

Это выражение также можно записать как $(7^2)^n = 49^n$.

Ответ: $7^{2n}$