Номер 164, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

164*. Докажите, что значение выражения $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 39 при $n \in N$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 39 при любом натуральном $n$ ($n \in \mathbb{N}$), необходимо показать, что данное выражение можно представить в виде произведения числа 39 и некоторого целого числа.

Рассмотрим данное выражение:

$3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$

Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, преобразуем слагаемые:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$

Подставим полученные выражения в исходную сумму:

$3^n + 3 \cdot 3^n + 9 \cdot 3^n$

Теперь вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n(1 + 3 + 9)$

Вычислим сумму в скобках:

$1 + 3 + 9 = 13$

Таким образом, исходное выражение равно:

$13 \cdot 3^n$

Чтобы доказать делимость на 39, представим это выражение так, чтобы одним из множителей было число 39. Мы знаем, что $39 = 3 \cdot 13$.

Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n \ge 1$. Это позволяет нам представить $3^n$ как $3 \cdot 3^{n-1}$:

$13 \cdot (3 \cdot 3^{n-1})$

Перегруппируем множители:

$(13 \cdot 3) \cdot 3^{n-1}$

$39 \cdot 3^{n-1}$

Так как $n \in \mathbb{N}$, то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($0, 1, 2, \dots$), а значит $3^{n-1}$ также является целым числом.

В результате мы представили исходное выражение в виде $39 \cdot k$, где $k = 3^{n-1}$ — целое число. Это по определению означает, что значение выражения $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 39 при любом натуральном $n$.

Что и требовалось доказать.