Номер 168, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

168*. Разложите на множители:

a) $n^4 + 324$;

б) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$.

а) Для разложения на множители выражения $n^4 + 324$ воспользуемся методом дополнения до полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании такого слагаемого, которое превратит часть выражения в полный квадрат.

1. Представим исходное выражение как сумму квадратов:

$n^4 + 324 = (n^2)^2 + (18)^2$

2. Чтобы получить формулу полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, нам не хватает удвоенного произведения $2ab$. В нашем случае $a=n^2$ и $b=18$, поэтому $2ab = 2 \cdot n^2 \cdot 18 = 36n^2$.

3. Добавим и вычтем $36n^2$ к исходному выражению. Его значение при этом не изменится.

$n^4 + 324 = n^4 + 36n^2 + 324 - 36n^2$

4. Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(n^2 + 18)^2$. Выражение примет вид:

$(n^4 + 36n^2 + 324) - 36n^2 = (n^2 + 18)^2 - (6n)^2$

5. Мы получили разность квадратов $A^2 - B^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(A-B)(A+B)$. Здесь $A = n^2 + 18$ и $B = 6n$.

$(n^2 + 18 - 6n)(n^2 + 18 + 6n)$

6. Запишем многочлены в стандартном виде, упорядочив слагаемые по убыванию степеней переменной $n$.

$(n^2 - 6n + 18)(n^2 + 6n + 18)$

Квадратные трехчлены в скобках не раскладываются на множители с действительными коэффициентами, так как их дискриминанты отрицательны.

Ответ: $(n^2 - 6n + 18)(n^2 + 6n + 18)$.

б) Рассмотрим выражение $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$.

1. Заметим, что выражение $x^2 + 4x + 8$ повторяется. Это позволяет нам использовать метод замены переменной, чтобы упростить структуру выражения. Пусть $y = x^2 + 4x + 8$.

2. Подставим $y$ в исходное выражение:

$y^2 + 3x \cdot y + 2x^2$

3. Получился квадратный трехчлен относительно переменной $y$. Разложим его на множители. Для этого найдем два выражения, сумма которых равна коэффициенту при $y$ (то есть $3x$), а произведение равно свободному члену (то есть $2x^2$). Этими выражениями являются $x$ и $2x$, так как $x + 2x = 3x$ и $x \cdot 2x = 2x^2$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители следующим образом:

$(y + x)(y + 2x)$

4. Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ его первоначальное выражение $x^2 + 4x + 8$:

$((x^2 + 4x + 8) + x)((x^2 + 4x + 8) + 2x)$

5. Упростим выражения в каждой из скобок, приведя подобные слагаемые:

Первая скобка: $x^2 + 4x + x + 8 = x^2 + 5x + 8$

Вторая скобка: $x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$

Таким образом, мы получили произведение двух квадратных трехчленов:

$(x^2 + 5x + 8)(x^2 + 6x + 8)$

6. Проверим, можно ли разложить на множители каждый из этих трехчленов.

Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Для $x^2 + 6x + 8$: по теореме Виета, корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 6x + 8 = (x - (-2))(x - (-4)) = (x+2)(x+4)$.

7. Запишем окончательный результат:

$(x+2)(x+4)(x^2 + 5x + 8)$

Ответ: $(x+2)(x+4)(x^2 + 5x + 8)$.