Номер 173, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

173*. Упростите выражение

$\left( \frac{a}{0.5a + 1} + \frac{\frac{2}{3}a}{2 - a} + \frac{2a}{\frac{1}{4}a^2 - 1} \right) \cdot \frac{0.5a - 1}{0.5a - 2}.$

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Сначала преобразуем знаменатели дробей в скобках и множитель, на который производится умножение. Для этого представим десятичные дроби в виде обыкновенных и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

• $0,5a+1 = \frac{1}{2}a+1 = \frac{a+2}{2}$
• $\frac{1}{4}a^2-1 = (\frac{1}{2}a)^2-1^2 = (\frac{1}{2}a-1)(\frac{1}{2}a+1) = \frac{a-2}{2}\cdot\frac{a+2}{2} = \frac{(a-2)(a+2)}{4}$
• $\frac{0,5a-1}{0,5a-2} = \frac{\frac{1}{2}a-1}{\frac{1}{2}a-2} = \frac{\frac{a-2}{2}}{\frac{a-4}{2}} = \frac{a-2}{a-4}$

2. Подставим преобразованные выражения обратно в исходное выражение и выполним действия в скобках. Сначала упростим получившиеся многоэтажные дроби:

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого изменим знак в знаменателе второй дроби: $2-a = -(a-2)$. Это изменит знак перед дробью.

Общий знаменатель для дробей в скобках равен $3(a-2)(a+2)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

Вынесем общий множитель $4a$ в числителе за скобки и сократим дробь на $(a+2)$:

3. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на вторую дробь:

Сокращаем дробь на общий множитель $(a-2)$:

Это и есть упрощенное выражение. Можно записать его как $\frac{4a}{3a-12}$.

4. Согласно требованию, необходимо выделить целую часть из полученной неправильной рациональной дроби (степень числителя равна степени знаменателя). Для этого выполним деление "уголком" числителя на знаменатель:

Представим неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3} + \frac{16}{3(a-4)}$