Номер 175, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

175*. Сократите дробь $\frac{x + 6\sqrt{x-2} + 6}{\sqrt{x-2} + 4}$.

Для сокращения дроби $\frac{x + 6\sqrt{x-2} + 6}{\sqrt{x-2} + 4}$ воспользуемся методом замены переменной.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Знаменатель дроби $\sqrt{x-2} + 4$ не должен быть равен нулю. Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, то $\sqrt{x-2} + 4 \ge 4$. Таким образом, знаменатель никогда не обращается в нуль.

Пусть $y = \sqrt{x-2}$. Тогда $y \ge 0$.

Возведем обе части равенства $y = \sqrt{x-2}$ в квадрат, чтобы выразить $x$ через $y$:

$y^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$y^2 = x-2$

$x = y^2 + 2$

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x-2}$ в исходную дробь:

$$ \frac{x + 6\sqrt{x-2} + 6}{\sqrt{x-2} + 4} = \frac{(y^2 + 2) + 6y + 6}{y + 4} $$

Упростим выражение в числителе:

$$ y^2 + 6y + 2 + 6 = y^2 + 6y + 8 $$

Дробь принимает вид:

$$ \frac{y^2 + 6y + 8}{y + 4} $$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель $y^2 + 6y + 8$ на множители. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $y^2 + 6y + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -6$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 8$. Легко подобрать корни: $y_1 = -4$ и $y_2 = -2$.

Тогда разложение на множители имеет вид: $y^2 + 6y + 8 = (y - y_1)(y - y_2) = (y - (-4))(y - (-2)) = (y+4)(y+2)$.

Подставим разложение в дробь:

$$ \frac{(y+4)(y+2)}{y+4} $$

Так как $y = \sqrt{x-2} \ge 0$, то $y+4 \ge 4$, следовательно, множитель $(y+4)$ не равен нулю, и на него можно сократить дробь.

$$ \frac{(y+4)(y+2)}{y+4} = y+2 $$

Выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt{x-2}$ обратно в полученное выражение:

$$ y+2 = \sqrt{x-2} + 2 $$

Ответ: $\sqrt{x-2} + 2$.