Номер 172, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

172*. Упростите выражение

$\frac{1}{b(b+3)} + \frac{1}{(b+3)(b+6)} + \frac{1}{(b+6)(b+9)} + \frac{1}{(b+9)(b+12)}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Каждое слагаемое представляет собой дробь вида $ \frac{1}{A \cdot B} $, которую можно представить в виде разности по формуле: $ \frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right) $.

В каждом слагаемом нашего выражения разность множителей в знаменателе равна 3. Например, для первой дроби: $ (b+3) - b = 3 $. Следовательно, для каждого слагаемого коэффициент перед скобкой будет $ \frac{1}{3} $.

Разложим каждую дробь:

$ \frac{1}{b(b+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{b+3} \right) $

$ \frac{1}{(b+3)(b+6)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6} \right) $

$ \frac{1}{(b+6)(b+9)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9} \right) $

$ \frac{1}{(b+9)(b+12)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12} \right) $

Теперь просуммируем все полученные выражения, вынеся общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки. Сумма примет вид телескопического ряда, в котором промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{b+3} \right) + \left( \frac{1}{b+3} - \frac{1}{b+6} \right) + \left( \frac{1}{b+6} - \frac{1}{b+9} \right) + \left( \frac{1}{b+9} - \frac{1}{b+12} \right) \right] $

Раскрыв скобки, видим, что слагаемые $ -\frac{1}{b+3} $ и $ +\frac{1}{b+3} $, $ -\frac{1}{b+6} $ и $ +\frac{1}{b+6} $, $ -\frac{1}{b+9} $ и $ +\frac{1}{b+9} $ сокращаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{b+12} \right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ b(b+12) $:

$ = \frac{1}{3} \left( \frac{b+12}{b(b+12)} - \frac{b}{b(b+12)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{b+12-b}{b(b+12)} \right) $

После упрощения числителя получаем:

$ = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{b(b+12)} $

Выполним умножение и сократим дробь:

$ = \frac{12}{3b(b+12)} = \frac{4}{b(b+12)} $

Ответ: $ \frac{4}{b(b+12)} $