Номер 165, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

165*. Одно натуральное число при делении на 5 дает остаток 4, а другое — остаток 3. Найдите, какой остаток получится при делении на 5 произведения суммы и разности этих чисел.

Пусть первое натуральное число — $a$, а второе — $b$.

Согласно условию, число $a$ при делении на 5 даёт остаток 4, а число $b$ — остаток 3. Используя теорию сравнений по модулю, это можно записать так:

$a \equiv 4 \pmod{5}$

$b \equiv 3 \pmod{5}$

Нам необходимо найти остаток от деления на 5 произведения суммы и разности этих чисел, то есть найти остаток для выражения $(a+b)(a-b)$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами сравнений.

1. Сначала найдём остаток от деления на 5 для суммы $(a+b)$:

$a+b \equiv 4+3 \pmod{5}$

$a+b \equiv 7 \pmod{5}$

Поскольку $7 = 1 \cdot 5 + 2$, остаток от деления 7 на 5 равен 2. Таким образом:

$a+b \equiv 2 \pmod{5}$

2. Теперь найдём остаток от деления на 5 для разности $(a-b)$:

$a-b \equiv 4-3 \pmod{5}$

$a-b \equiv 1 \pmod{5}$

3. Остаток от деления произведения $(a+b)(a-b)$ на 5 равен произведению остатков от деления $(a+b)$ и $(a-b)$ на 5.

$(a+b)(a-b) \equiv 2 \cdot 1 \pmod{5}$

$(a+b)(a-b) \equiv 2 \pmod{5}$

Следовательно, искомый остаток равен 2.

Проверка на примере:

Возьмём числа, удовлетворяющие условию. Например, $a=9$ (остаток 4 при делении на 5) и $b=8$ (остаток 3 при делении на 5).

• Сумма: $a+b = 9+8 = 17$. При делении на 5, $17 = 3 \cdot 5 + 2$. Остаток 2.
• Разность: $a-b = 9-8 = 1$. При делении на 5, $1 = 0 \cdot 5 + 1$. Остаток 1.
• Произведение суммы и разности: $17 \cdot 1 = 17$.
• Остаток от деления произведения на 5: $17 = 3 \cdot 5 + 2$. Остаток 2.

Результат подтверждается.

Ответ: 2