Номер 161, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

161*. Внесите множитель под знак корня:

а) $ \frac{2}{x}\sqrt{-\frac{x}{8}} $;

б) $ (a-b)\sqrt{\frac{b-a}{5}} $.

a) Для выражения $\frac{2}{x}\sqrt{-\frac{x}{8}}$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $-\frac{x}{8} \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \le 0$. Также, знаменатель дроби-множителя не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ для данного выражения: $x < 0$.
При $x < 0$ множитель $\frac{2}{x}$ является отрицательным. Для внесения отрицательного множителя $C$ под знак корня используется правило $C\sqrt{D} = -\sqrt{C^2 \cdot D}$.
Применяя это правило, получаем:$$ \frac{2}{x}\sqrt{-\frac{x}{8}} = -\sqrt{\left(\frac{2}{x}\right)^2 \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{\frac{4}{x^2} \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{-\frac{4x}{8x^2}} $$После сокращения дроби под корнем, получаем конечный результат:$$ -\sqrt{-\frac{1}{2x}} $$Ответ: $ -\sqrt{-\frac{1}{2x}} $

б) Для выражения $(a-b)\sqrt{\frac{b-a}{5}}$ ОДЗ определяется условием $\frac{b-a}{5} \ge 0$, что равносильно $b-a \ge 0$, или $b \ge a$.
При условии $b \ge a$ множитель $(a-b)$ является неположительным (то есть $a-b \le 0$). Если $b > a$, множитель отрицателен. Если $b=a$, он равен нулю. В обоих случаях для внесения множителя $C$ под корень применяется правило $C\sqrt{D} = -\sqrt{C^2 \cdot D}$ (для $C \le 0$).
Выполняем преобразование:$$ (a-b)\sqrt{\frac{b-a}{5}} = -\sqrt{(a-b)^2 \cdot \frac{b-a}{5}} $$Так как $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$, для удобства дальнейшего упрощения заменим $(a-b)^2$ на $(b-a)^2$:$$ -\sqrt{(b-a)^2 \cdot \frac{b-a}{5}} = -\sqrt{\frac{(b-a)^3}{5}} $$Ответ: $ -\sqrt{\frac{(b-a)^3}{5}} $