Номер 167, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

167*: Найдите наименьшее значение выражения $5x^2 + 2y^2 - 4xy + 2x + 4y + 7$ и значения переменных, при которых оно достигается.

Для нахождения наименьшего значения выражения $5x^2 + 2y^2 - 4xy + 2x + 4y + 7$ и соответствующих значений переменных $x$ и $y$ преобразуем данное выражение методом выделения полных квадратов.

Исходное выражение: $E(x, y) = 5x^2 + 2y^2 - 4xy + 2x + 4y + 7$.

1. Сначала сгруппируем члены, содержащие переменную $y$, чтобы выделить полный квадрат относительно $y$.

$E(x, y) = (2y^2 - 4xy + 4y) + 5x^2 + 2x + 7$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$E(x, y) = 2(y^2 - 2xy + 2y) + 5x^2 + 2x + 7$

2. Внутри скобок преобразуем выражение к полному квадрату. Для этого представим $-2xy + 2y$ как $-2y(x-1)$. Теперь выражение в скобках имеет вид $y^2 - 2y(x-1)$. Чтобы получить полный квадрат вида $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=y$ и $b=(x-1)$, необходимо добавить и вычесть $(x-1)^2$:

$E(x, y) = 2(y^2 - 2y(x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^2) + 5x^2 + 2x + 7$

3. Теперь "свернем" полный квадрат и упростим полученное выражение:

$E(x, y) = 2([y-(x-1)]^2 - (x-1)^2) + 5x^2 + 2x + 7$

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 - 2(x-1)^2 + 5x^2 + 2x + 7$

Раскроем скобки $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ и приведем подобные слагаемые, которые теперь зависят только от $x$:

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 - 2(x^2 - 2x + 1) + 5x^2 + 2x + 7$

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 - 2x^2 + 4x - 2 + 5x^2 + 2x + 7$

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 + (5x^2-2x^2) + (4x+2x) + (-2+7)$

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 + 3x^2 + 6x + 5$

4. Оставшееся выражение $3x^2 + 6x + 5$ также преобразуем, выделив полный квадрат относительно $x$:

$3x^2 + 6x + 5 = 3(x^2 + 2x) + 5 = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x+1)^2 - 3 + 5 = 3(x+1)^2 + 2$

5. Подставим результат обратно в основное выражение:

$E(x, y) = 2(y-x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 2$

Итоговое выражение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю ($ (y-x+1)^2 \ge 0 $ и $ (x+1)^2 \ge 0 $), и константы 2.

Наименьшее значение выражения: достигается, когда оба квадратичных члена равны нулю, то есть $2(y-x+1)^2 = 0$ и $3(x+1)^2 = 0$. В этом случае минимальное значение выражения будет равно оставшейся константе. Ответ: 2.

Значения переменных, при которых оно достигается: чтобы найти эти значения, необходимо решить систему уравнений, полученную из условия равенства квадратов нулю:

$ \begin{cases} x+1 = 0 \\ y-x+1 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения немедленно следует $x = -1$. Подставим это значение во второе уравнение:

$y - (-1) + 1 = 0 \Rightarrow y + 1 + 1 = 0 \Rightarrow y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$.

Следовательно, минимум достигается при $x=-1$ и $y=-2$. Ответ: $x=-1, y=-2$.