Номер 153, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

153. Вынесите множитель за знак корня в выражении

$\sqrt{50a^4b^{10}}$ при $b < 0$.

Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{50a^4b^{10}}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы из них можно было извлечь квадратный корень.

1. Разложение подкоренного выражения:

Представим каждый множитель в виде произведения, где один из сомножителей является полным квадратом:

• Числовой коэффициент: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$.
• Переменная $a$: $a^4 = (a^2)^2$.
• Переменная $b$: $b^{10} = (b^5)^2$.

2. Преобразование выражения:

Подставим разложенные множители обратно в корень:

$\sqrt{50a^4b^{10}} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^5)^2}$

3. Извлечение корня:

Используем свойство корня из произведения ($\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$) и свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ (квадратный корень из квадрата числа равен его модулю):

$\sqrt{25 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^5)^2 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^5)^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |a^2| \cdot |b^5| \cdot \sqrt{2}$

4. Раскрытие модулей с учетом условия:

• Модуль $|a^2|$: так как $a^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
• Модуль $|b^5|$: по условию задачи $b < 0$. Нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом, следовательно, $b^5 < 0$. По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению. Таким образом, $|b^5| = -b^5$.

5. Конечное выражение:

Подставим раскрытые модули в полученное выражение:

$5 \cdot a^2 \cdot (-b^5) \cdot \sqrt{2} = -5a^2b^5\sqrt{2}$

Итоговый результат: Ответ: $-5a^2b^5\sqrt{2}$