Номер 146, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

146. Упростите выражение:

a) $(2\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+4\sqrt{xy};$

б) $5\sqrt{\frac{b}{25}}-18\sqrt{\frac{b}{36}}.$

а) Для упрощения данного выражения раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $a = 2\sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Применим формулу:

$(2\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 + 4\sqrt{xy} = ((2\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) + 4\sqrt{xy}$

Теперь вычислим каждый член в скобках:

• $(2\sqrt{x})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x$
• $2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 4\sqrt{xy}$
• $(\sqrt{y})^2 = y$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$4x - 4\sqrt{xy} + y + 4\sqrt{xy}$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-4\sqrt{xy}$ и $4\sqrt{xy}$ взаимно уничтожаются:

$4x + y + (-4\sqrt{xy} + 4\sqrt{xy}) = 4x + y + 0 = 4x + y$

Ответ: $4x + y$

б) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством квадратного корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{c}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}$ (при $a \ge 0, c > 0$).

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Первый член:

$5\sqrt{\frac{b}{25}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{25}}$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем:

$5 \cdot \frac{\sqrt{b}}{5} = \sqrt{b}$

Второй член:

$18\sqrt{\frac{b}{36}} = 18 \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{36}}$

Так как $\sqrt{36} = 6$, получаем:

$18 \cdot \frac{\sqrt{b}}{6} = 3\sqrt{b}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$5\sqrt{\frac{b}{25}} - 18\sqrt{\frac{b}{36}} = \sqrt{b} - 3\sqrt{b}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки и выполним вычитание:

$\sqrt{b}(1 - 3) = -2\sqrt{b}$

Ответ: $-2\sqrt{b}$