Номер 188, страница 283 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

188. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = 2x - 7$;

б) $y = x^2 - 7x + 6$;

в) $y = \frac{2x - 1}{x + 5}$.

а) Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $y = 2x - 7$, сначала найдем ее нуль (корень), то есть значение $x$, при котором $y=0$.

Решим уравнение:

$2x - 7 = 0$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть, как того требует условие:

$x = {\bf 3}\frac{1}{2}$

Полученный корень делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; {\bf 3}\frac{1}{2})$ и $({\bf 3}\frac{1}{2}; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Для промежутка $({\bf 3}\frac{1}{2}; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=4$.
  $y(4) = 2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1$.
  Поскольку $1 > 0$, функция $y$ положительна на этом промежутке.
• Для промежутка $(-\infty; {\bf 3}\frac{1}{2})$ выберем пробную точку, например $x=0$.
  $y(0) = 2 \cdot 0 - 7 = -7$.
  Поскольку $-7 < 0$, функция $y$ отрицательна на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in ({\bf 3}\frac{1}{2}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; {\bf 3}\frac{1}{2})$.

б) Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $y = x^2 - 7x + 6$, найдем ее нули, решив квадратное уравнение $x^2 - 7x + 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Отсюда корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Корни $x=1$ и $x=6$ делят числовую ось на три промежутка:

• $(-\infty; 1)$: $y > 0$
• $(1; 6)$: $y < 0$
• $(6; +\infty)$: $y > 0$

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (6; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 6)$.

в) Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $y = \frac{2x - 1}{x + 5}$, используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нуль числителя (корень функции):

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

2. Найдем нуль знаменателя (точка разрыва функции):

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

Точки $x=-5$ и $x=\frac{1}{2}$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -5)$, $(-5; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Промежуток $(-\infty; -5)$. Возьмем $x=-6$.
  $y(-6) = \frac{2(-6) - 1}{-6 + 5} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$.
• Промежуток $(-5; \frac{1}{2})$. Возьмем $x=0$.
  $y(0) = \frac{2(0) - 1}{0 + 5} = \frac{-1}{5} < 0$.
• Промежуток $(\frac{1}{2}; +\infty)$. Возьмем $x=1$.
  $y(1) = \frac{2(1) - 1}{1 + 5} = \frac{1}{6} > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; \frac{1}{2})$.