Номер 16, страница 13 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Координаты точек из рисунка 15:

A(3; 6)

B(6; 8)

C(11; 0)

Векторы: $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$.

По условию, $\vec{c}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найти:

а) Проекции векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ на оси $Ox$ и $Oy$ ($a_x, a_y, b_x, b_y, c_x, c_y$).

б) Доказать, что $c_x = a_x + b_x$ и $c_y = a_y + b_y$.

в) Модуль вектора $\vec{c}$ ($|\vec{c}|$).

г) Угол $\alpha$, образованный вектором $\vec{c}$ и осью $Ox$.

Решение:

Построение векторов: Вектор $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ начинается в точке A и заканчивается в точке B. Вектор $\vec{b} = \overrightarrow{BC}$ начинается в точке B и заканчивается в точке C. Вектор их суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ по правилу сложения векторов (правилу треугольника) соединяет начало первого вектора (A) с концом второго (C), то есть $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$.

а) Определим проекции векторов. Проекция вектора на координатную ось равна разности соответствующей координаты конца и начала вектора.

Для вектора $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$:

Проекция на ось $Ox$: $a_x = x_B - x_A = 6 - 3 = 3$

Проекция на ось $Oy$: $a_y = y_B - y_A = 8 - 6 = 2$

Для вектора $\vec{b} = \overrightarrow{BC}$:

Проекция на ось $Ox$: $b_x = x_C - x_B = 11 - 6 = 5$

Проекция на ось $Oy$: $b_y = y_C - y_B = 0 - 8 = -8$

Для вектора суммы $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$:

Проекция на ось $Ox$: $c_x = x_C - x_A = 11 - 3 = 8$

Проекция на ось $Oy$: $c_y = y_C - y_A = 0 - 6 = -6$

Ответ: Проекции векторов: $a_x=3, a_y=2$; $b_x=5, b_y=-8$; $c_x=8, c_y=-6$.

б) Докажем, что проекция вектора суммы равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов, используя найденные в пункте а) значения.

Для оси $Ox$:

$a_x + b_x = 3 + 5 = 8$

Сравниваем с проекцией $c_x = 8$. Равенство $c_x = a_x + b_x$ выполняется.

Для оси $Oy$:

$a_y + b_y = 2 + (-8) = -6$

Сравниваем с проекцией $c_y = -6$. Равенство $c_y = a_y + b_y$ выполняется.

Утверждение доказано на данном примере.

Ответ: $c_x = a_x+b_x \implies 8 = 3+5$; $c_y = a_y+b_y \implies -6 = 2+(-8)$. Равенства верны.

в) Вычислим модуль (длину) вектора $\vec{c}$ по теореме Пифагора, используя его проекции:

$|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}$

$|\vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: Модуль вектора $\vec{c}$ равен 10.

г) Вычислим угол $\alpha$, образованный вектором $\vec{c}$ и положительным направлением оси $Ox$. Тангенс этого угла равен отношению проекции вектора на ось $Oy$ к его проекции на ось $Ox$.

$\tan(\alpha) = \frac{c_y}{c_x} = \frac{-6}{8} = -0.75$

$\alpha = \arctan(-0.75) \approx -36.87^\circ$

Знак "минус" указывает на то, что угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ по часовой стрелке (вниз), так как вектор $\vec{c}$ находится в четвертой координатной четверти ($c_x > 0, c_y < 0$).

Ответ: $\alpha \approx -37^\circ$.