Номер 10, страница 11 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Модули векторов равны: $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = b$, где $a = b$.

Найти:

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в следующих случаях:

а) $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$

б) $|\vec{a} + \vec{b}| = 2a$

в) $|\vec{a} + \vec{b}| = a$

Решение:

Модуль суммы двух векторов можно найти по теореме косинусов для векторов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

где $\alpha$ — это искомый угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Согласно условию задачи, модули векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = a$. Подставим это в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2 + 2a^2\cos\alpha$

Вынесем общий множитель за скобки:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Теперь решим задачу для каждого из трех случаев.

а) Модуль вектора суммы равен 0.

По условию, $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$. Подставим это значение в выведенную формулу:

$0^2 = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Поскольку $a$ является модулем ненулевого вектора (иначе задача теряет смысл), $a \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $2a^2$:

$0 = 1 + \cos\alpha$

Отсюда находим косинус угла:

$\cos\alpha = -1$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos(-1) = 180^\circ$

Векторы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Их сумма дает нулевой вектор.

Ответ: $180^\circ$.

б) Модуль вектора суммы равен $2a$.

По условию, $|\vec{a} + \vec{b}| = 2a$. Подставляем в формулу:

$(2a)^2 = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

$4a^2 = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Разделим обе части на $2a^2$ (при $a \neq 0$):

$2 = 1 + \cos\alpha$

$\cos\alpha = 2 - 1 = 1$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos(1) = 0^\circ$

Векторы одинаковы по модулю и направлению (сонаправлены). В этом случае модуль их суммы равен сумме их модулей.

Ответ: $0^\circ$.

в) Модуль вектора суммы равен $a$.

По условию, $|\vec{a} + \vec{b}| = a$. Подставляем в формулу:

$a^2 = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Разделим обе части на $2a^2$ (при $a \neq 0$):

$\frac{1}{2} = 1 + \cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

Геометрически, если отложить векторы из одной точки, они образуют две стороны ромба. Сумма векторов — это диагональ ромба, исходящая из той же точки. В данном случае все три отрезка (два вектора и их сумма) имеют одинаковую длину $a$. Это возможно, когда угол между векторами равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.