Номер 15, страница 13 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

На рисунке 14 представлены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ в декартовой системе координат. Масштаб сетки: 1 клетка = 1 единица.

Найти:

а) координаты начала и конца каждого вектора;

б) проекции векторов на координатные оси Ox и Oy;

в) модули векторов.

Решение:

а) координаты начала и конца каждого вектора

Координаты начала (точки, из которой исходит вектор) и конца (точки, куда указывает стрелка вектора) определяются непосредственно по сетке на рисунке. Координаты точки записываются в формате $(x; y)$.

Для вектора $\vec{a}$: точка начала имеет координаты (1; 2), точка конца — (4; 1).

Для вектора $\vec{b}$: точка начала имеет координаты (1; -3), точка конца — (3; -1).

Для вектора $\vec{c}$: точка начала имеет координаты (-1; -1), точка конца — (-4; -3).

Для вектора $\vec{d}$: точка начала имеет координаты (-2; 1), точка конца — (-3; 3).

Ответ: Вектор $\vec{a}$: начало (1; 2), конец (4; 1). Вектор $\vec{b}$: начало (1; -3), конец (3; -1). Вектор $\vec{c}$: начало (-1; -1), конец (-4; -3). Вектор $\vec{d}$: начало (-2; 1), конец (-3; 3).

б) проекции векторов на координатные оси Ox и Oy

Проекция вектора на координатную ось равна разности соответствующей координаты конца и начала вектора. Если вектор $\vec{v}$ имеет начало в точке $(x_1; y_1)$ и конец в точке $(x_2; y_2)$, то его проекции $v_x$ и $v_y$ на оси Ox и Oy вычисляются по формулам:

$v_x = x_2 - x_1$

$v_y = y_2 - y_1$

Вычислим проекции для каждого вектора:

Для вектора $\vec{a}$: $a_x = 4 - 1 = 3$; $a_y = 1 - 2 = -1$.

Для вектора $\vec{b}$: $b_x = 3 - 1 = 2$; $b_y = -1 - (-3) = 2$.

Для вектора $\vec{c}$: $c_x = -4 - (-1) = -3$; $c_y = -3 - (-1) = -2$.

Для вектора $\vec{d}$: $d_x = -3 - (-2) = -1$; $d_y = 3 - 1 = 2$.

Ответ: Проекции векторов: для $\vec{a}$ ($a_x=3, a_y=-1$); для $\vec{b}$ ($b_x=2, b_y=2$); для $\vec{c}$ ($c_x=-3, c_y=-2$); для $\vec{d}$ ($d_x=-1, d_y=2$).

в) модули векторов

Модуль (или длина) вектора $\vec{v}$ с проекциями $v_x$ и $v_y$ вычисляется по теореме Пифагора:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Используя найденные в пункте б) проекции, вычислим модули векторов:

Для вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Для вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Для вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Для вектора $\vec{d}$: $|\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: Модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{10}$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $|\vec{c}| = \sqrt{13}$, $|\vec{d}| = \sqrt{5}$.