Номер 6, страница 10 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Решение

Данное утверждение является доказательством коммутативного (переместительного) закона сложения векторов. Докажем его, используя геометрическое представление векторов и правило параллелограмма для их сложения.

1. Возьмем произвольную точку $O$ на плоскости и отложим от нее векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Пусть вектор $\vec{a}$ представляется направленным отрезком $\vec{OA}$, а вектор $\vec{b}$ — направленным отрезком $\vec{OB}$.

2. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на сторонах построим параллелограмм $OACB$. В построенном параллелограмме, по определению, противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно:

- Сторона $AC$ параллельна и равна по длине стороне $OB$. Это означает, что вектор $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{b}$.

- Сторона $BC$ параллельна и равна по длине стороне $OA$. Это означает, что вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{a}$.

3. Найдем результирующий вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Согласно правилу треугольника (которое является следствием правила параллелограмма), сумма векторов $\vec{OA}$ и $\vec{AC}$ есть вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, то есть вектор $\vec{OC}$.

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{OC}$

Таким образом, вектор $\vec{c}$ — это диагональ параллелограмма $OACB$, выходящая из точки $O$.

4. Теперь найдем результирующий вектор $\vec{f} = \vec{b} + \vec{a}$. Аналогично, по правилу треугольника, сложим векторы $\vec{OB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{f} = \vec{b} + \vec{a} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC}$

Таким образом, вектор $\vec{f}$ — это та же самая диагональ $\vec{OC}$ параллелограмма $OACB$.

5. Мы получили, что $\vec{c} = \vec{OC}$ и $\vec{f} = \vec{OC}$. Следовательно, $\vec{c} = \vec{f}$.

Два вектора считаются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их модули (длины) равны. Поскольку векторы $\vec{c}$ и $\vec{f}$ оказались одним и тем же вектором $\vec{OC}$, их модули и направления по определению одинаковы.

Ответ: При сложении векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма, оба выражения $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{b} + \vec{a}$ соответствуют одной и той же диагонали построенного на этих векторах параллелограмма. Следовательно, результирующие векторы $\vec{c}$ и $\vec{f}$ равны, а значит, их модули и направления совпадают, что и требовалось доказать.