Номер 219, страница 53 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Движение — равноускоренное, прямолинейное.

Начальная скорость $v_0 = 0$ (из состояния покоя).

Путь за первую секунду $s_1 = 60$ см.

Время, за которое пройден путь $s_1$, $t_1 = 1$ с.

Перевод в СИ:

$s_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Путь за четвертую секунду движения $s_{4-я}$ — ?

Решение:

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя, определяется формулой:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

где $a$ — ускорение, $t$ — общее время движения.

Путь, пройденный за первую секунду ($t=1$ с), равен:

$s_1 = S(1) = \frac{a \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{a}{2}$

Из этого выражения можно найти ускорение комбайна, зная $s_1$:

$a = 2s_1 = 2 \cdot 0.6 \text{ м} = 1.2 \text{ м/с}^2$

Путь, пройденный за четвертую секунду движения, представляет собой разность между путем, пройденным за полные четыре секунды, и путем, пройденным за полные три секунды:

$s_{4-я} = S(4) - S(3)$

Найдем путь, пройденный за 4 секунды от начала движения:

$S(4) = \frac{a \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{16a}{2} = 8a$

Найдем путь, пройденный за 3 секунды от начала движения:

$S(3) = \frac{a \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{9a}{2} = 4.5a$

Теперь вычислим путь за четвертую секунду:

$s_{4-я} = 8a - 4.5a = 3.5a$

Подставим найденное значение ускорения $a$:

$s_{4-я} = 3.5 \cdot 1.2 \text{ м/с}^2 = 4.2 \text{ м}$

Существует и другой, более быстрый способ решения. Для равноускоренного движения из состояния покоя пути, пройденные за последовательные равные промежутки времени (в данном случае, за каждую секунду), относятся как ряд нечетных чисел:

$s_{1-я} : s_{2-я} : s_{3-я} : s_{4-я} : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...$

Это свойство следует из общей формулы для пути за n-ную секунду:

$s_{n-я} = S(n) - S(n-1) = \frac{an^2}{2} - \frac{a(n-1)^2}{2} = \frac{a}{2}(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a}{2}(2n-1)$

Путь за первую секунду ($n=1$) равен $s_{1-я} = \frac{a}{2}(2 \cdot 1 - 1) = \frac{a}{2}$.

Путь за четвертую секунду ($n=4$) равен $s_{4-я} = \frac{a}{2}(2 \cdot 4 - 1) = \frac{a}{2} \cdot 7 = 7 \cdot (\frac{a}{2})$.

Так как $s_1 = \frac{a}{2}$, то $s_{4-я} = 7 \cdot s_1$.

Подставим известное значение $s_1$:

$s_{4-я} = 7 \cdot 0.6 \text{ м} = 4.2 \text{ м}$

Ответ:

Путь, который комбайн прошел за четвертую секунду движения, равен $4.2$ м.