Номер 220, страница 53 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Движение равноускоренное, прямолинейное.
Начальная скорость $v_0 = 0$ (так как ком снега отрывается от вершины).
Первый интервал времени: $n_1 = 3$ (третья секунда).
Второй интервал времени: $n_2 = 8$ (восьмая секунда).

Найти:

Отношение пути, пройденного за восьмую секунду ($s_8$), к пути, пройденному за третью секунду ($s_3$): $\frac{s_8}{s_3}$.

Решение:

При равноускоренном движении без начальной скорости ($v_0 = 0$) путь, пройденный телом за время $t$, вычисляется по формуле: $s(t) = \frac{at^2}{2}$, где $a$ — ускорение тела.

Путь, пройденный телом за $n$-ую секунду, можно найти как разность между путем, пройденным за $n$ секунд, и путем, пройденным за $(n-1)$ секунд: $s_n = s(t=n) - s(t=n-1)$.

Подставим в эту формулу выражение для пути: $s_n = \frac{an^2}{2} - \frac{a(n-1)^2}{2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки и упростим выражение: $s_n = \frac{a}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a}{2} (n^2 - n^2 + 2n - 1) = \frac{a}{2} (2n - 1)$.

Используя полученную формулу, вычислим путь, пройденный за третью секунду ($n=3$): $s_3 = \frac{a}{2} (2 \cdot 3 - 1) = \frac{a}{2} (6 - 1) = \frac{5a}{2}$.

Теперь вычислим путь, пройденный за восьмую секунду ($n=8$): $s_8 = \frac{a}{2} (2 \cdot 8 - 1) = \frac{a}{2} (16 - 1) = \frac{15a}{2}$.

Найдем искомое отношение путей $\frac{s_8}{s_3}$: $\frac{s_8}{s_3} = \frac{\frac{15a}{2}}{\frac{5a}{2}}$.

Сократив общий множитель $\frac{a}{2}$, получим: $\frac{s_8}{s_3} = \frac{15}{5} = 3$.

Ответ: Путь, пройденный комом снега за восьмую секунду, в 3 раза больше пути, пройденного им за третью секунду.