Номер 388, страница 87 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Удлинение целой полоски, $Δl = 4$ см.

$Δl = 0.04$ м.

Найти:

Удлинение половины полоски в случае а), $Δl_а$ — ?

Удлинение половины полоски в случае б), $Δl_б$ — ?

Решение:

Для упругой деформации (растяжения) справедливо соотношение, вытекающее из закона Гука и определения модуля Юнга $E$:

$Δl = \frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$

Здесь $F$ — приложенная сила, $l_0$ — начальная длина полоски, $S$ — площадь ее поперечного сечения, а $E$ — модуль Юнга, который характеризует упругие свойства материала и в данной задаче является константой.

Для исходной полоски имеем: $Δl = \frac{F \cdot l_0}{E \cdot S} = 4$ см.

Рассмотрим два случая.

а) полоску разрезали вдоль

При разрезании полоски вдоль на две равные части, мы берем одну из них. Ее начальная длина $l_{0a}$ останется прежней, а площадь поперечного сечения $S_a$ уменьшится вдвое. Сила $F$ прикладывается та же.

Начальная длина новой полоски: $l_{0a} = l_0$.

Площадь поперечного сечения новой полоски: $S_a = \frac{S}{2}$.

Найдем удлинение $Δl_a$ для этой половины:

$Δl_a = \frac{F \cdot l_{0a}}{E \cdot S_a} = \frac{F \cdot l_0}{E \cdot (S/2)} = 2 \cdot \frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$

Так как $\frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$ — это первоначальное удлинение $Δl$, то:

$Δl_a = 2 \cdot Δl = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Это происходит потому, что жесткость полоски ($k = \frac{E \cdot S}{l_0}$) уменьшилась вдвое из-за уменьшения площади сечения. При той же силе более "мягкая" полоска растянется сильнее.

Ответ: половина полоски, разрезанная вдоль, удлинится на 8 см.

б) полоску разрезали поперек

При разрезании полоски поперек на две равные части, мы берем одну из них. Ее начальная длина $l_{0б}$ будет вдвое меньше исходной, а площадь поперечного сечения $S_б$ останется неизменной. Сила $F$ прикладывается та же.

Начальная длина новой полоски: $l_{0б} = \frac{l_0}{2}$.

Площадь поперечного сечения новой полоски: $S_б = S$.

Найдем удлинение $Δl_б$ для этой половины:

$Δl_б = \frac{F \cdot l_{0б}}{E \cdot S_б} = \frac{F \cdot (l_0/2)}{E \cdot S} = \frac{1}{2} \cdot \frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$

Так как $\frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$ — это первоначальное удлинение $Δl$, то:

$Δl_б = \frac{1}{2} \cdot Δl = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Это происходит потому, что жесткость полоски ($k = \frac{E \cdot S}{l_0}$) увеличилась вдвое из-за уменьшения длины. При той же силе более "жесткая" полоска растянется слабее.

Ответ: половина полоски, разрезанная поперек, удлинится на 2 см.