Номер 679, страница 137 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
$m_1 = 2,0$ кг
$m_2 = 1,0$ кг
$a_0 = 2,0 \frac{м}{с^2}$

Все данные уже представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{м}{с^2}$ для упрощения расчетов.

Найти:
$a_1$ - ?
$a_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение грузов в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Направим ось $OY$ вертикально вверх. Пусть $a_1$ и $a_2$ — ускорения грузов $m_1$ и $m_2$ относительно Земли соответственно. На каждый груз действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось $OY$:

Для первого груза ($m_1$):
$T - m_1 g = m_1 a_1$ (1)

Для второго груза ($m_2$):
$T - m_2 g = m_2 a_2$ (2)

Поскольку нить нерастяжима, ускорения грузов и блока связаны кинематическим соотношением. Пусть $y_1$, $y_2$ и $y_{бл}$ — вертикальные координаты грузов и блока. Длина нити $L$ постоянна:
$L = (y_{бл} - y_1) + (y_{бл} - y_2) = 2y_{бл} - y_1 - y_2$

Возьмем вторую производную по времени от обеих частей уравнения:
$\frac{d^2L}{dt^2} = 2\frac{d^2y_{бл}}{dt^2} - \frac{d^2y_1}{dt^2} - \frac{d^2y_2}{dt^2}$

Так как $L = const$, то $\frac{d^2L}{dt^2} = 0$. Ускорение блока $\frac{d^2y_{бл}}{dt^2} = a_0$, а ускорения грузов $\frac{d^2y_1}{dt^2} = a_1$ и $\frac{d^2y_2}{dt^2} = a_2$.
$0 = 2a_0 - a_1 - a_2$
$a_1 + a_2 = 2a_0$ (3)

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($T, a_1, a_2$). Решим ее.
Выразим $T$ из уравнений (1) и (2) и приравняем:
$m_1 g + m_1 a_1 = m_2 g + m_2 a_2$
$m_1 a_1 - m_2 a_2 = (m_2 - m_1)g$

Из уравнения (3) выразим $a_2 = 2a_0 - a_1$ и подставим в полученное уравнение:
$m_1 a_1 - m_2 (2a_0 - a_1) = (m_2 - m_1)g$
$m_1 a_1 - 2m_2 a_0 + m_2 a_1 = (m_2 - m_1)g$
$a_1 (m_1 + m_2) = (m_2 - m_1)g + 2m_2 a_0$
$a_1 = \frac{(m_2 - m_1)g + 2m_2 a_0}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:
$a_1 = \frac{(1,0 \text{ кг} - 2,0 \text{ кг}) \cdot 10 \frac{м}{с^2} + 2 \cdot 1,0 \text{ кг} \cdot 2,0 \frac{м}{с^2}}{2,0 \text{ кг} + 1,0 \text{ кг}} = \frac{-1,0 \cdot 10 + 4,0}{3,0} \frac{м}{с^2} = \frac{-6,0}{3,0} \frac{м}{с^2} = -2,0 \frac{м}{с^2}$

Знак "минус" означает, что ускорение первого груза направлено против оси $OY$, то есть вниз. Модуль ускорения первого груза равен:
$|a_1| = 2,0 \frac{м}{с^2}$

Теперь найдем ускорение второго груза из уравнения (3):
$a_2 = 2a_0 - a_1 = 2 \cdot 2,0 \frac{м}{с^2} - (-2,0 \frac{м}{с^2}) = 4,0 + 2,0 = 6,0 \frac{м}{с^2}$

Ускорение второго груза положительно, значит, оно направлено вверх. Модуль ускорения второго груза равен:
$|a_2| = 6,0 \frac{м}{с^2}$

Ответ: модуль ускорения груза массой $m_1 = 2,0$ кг равен $2,0 \frac{м}{с^2}$; модуль ускорения груза массой $m_2 = 1,0$ кг равен $6,0 \frac{м}{с^2}$.