Номер 727, страница 144 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса чугунной детали $m = 0,42 \text{ кг}$
Жесткость пружины $k = 60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$
Плотность воды (справочное значение) $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Плотность чугуна (справочное значение) $\rho_ч \approx 7200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$x_а$ — удлинение пружины в воздухе
$x_б$ — удлинение пружины в воде

Решение:

а) Деталь находится в воздухе

Когда деталь находится в воздухе, на нее действуют сила тяжести $F_т$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вверх. В состоянии равновесия эти силы равны. Силой Архимеда, действующей со стороны воздуха, пренебрегаем.

$F_{упр} = F_т$

Сила упругости определяется по закону Гука $F_{упр} = k \cdot x_а$, а сила тяжести по формуле $F_т = m \cdot g$.

Приравнивая выражения для сил, получаем:$k \cdot x_а = m \cdot g$

Отсюда находим удлинение пружины в воздухе:$x_а = \frac{m \cdot g}{k}$

Подставим числовые значения:$x_а = \frac{0,42 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{4,116 \text{ Н}}{60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0,0686 \text{ м}$

Ответ: удлинение пружины в воздухе составляет $0,0686 \text{ м}$ (или $6,86 \text{ см}$).

б) Деталь находится в воде

Когда деталь полностью погружена в воду, к силе тяжести и силе упругости добавляется выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$, направленная вверх.

Условие равновесия в этом случае:$F'_{упр} + F_А = F_т$

Сила упругости теперь равна $F'_{упр} = k \cdot x_б$. Отсюда:$k \cdot x_б = F_т - F_А$

Сила Архимеда вычисляется по формуле $F_А = \rho_в \cdot g \cdot V$, где $V$ — объем детали. Объем детали можно найти через ее массу и плотность: $V = \frac{m}{\rho_ч}$.

Тогда $F_А = \rho_в \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_ч}$.

Подставим все в уравнение равновесия:$k \cdot x_б = m \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_ч} = m \cdot g \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_ч}\right)$

Выразим удлинение пружины в воде $x_б$:$x_б = \frac{m \cdot g}{k} \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_ч}\right)$

Так как из пункта а) мы знаем, что $x_а = \frac{m \cdot g}{k}$, можем записать:$x_б = x_а \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_ч}\right)$

Подставим числовые значения:$x_б = 0,0686 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{7200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\right) = 0,0686 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{1}{7,2}\right) \approx 0,0686 \text{ м} \cdot (1 - 0,1389) = 0,0686 \text{ м} \cdot 0,8611 \approx 0,05907 \text{ м}$

Ответ: удлинение пружины в воде составляет примерно $0,059 \text{ м}$ (или $5,9 \text{ см}$).