Номер 732, страница 145 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = 2,0 \text{ см}$

$S = 2,0 \text{ дм}^2$

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$ (плотность льда)

$g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:

$h = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$S = 2,0 \text{ дм}^2 = 2,0 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 0,02 \text{ м}^2$

Найти:

$m$ — масса льдины.

Решение:

Поскольку льдина плавает, сила тяжести, действующая на нее, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Это условие плавания тел:

$F_g = F_A$

Сила тяжести $F_g$ равна произведению массы льдины $m$ на ускорение свободного падения $g$:

$F_g = m \cdot g$

Массу льдины можно выразить через ее плотность $\rho_л$ и полный объем $V_{общ}$:

$m = \rho_л \cdot V_{общ}$

Полный объем льдины равен произведению площади ее основания $S$ на ее полную высоту $H$:

$V_{общ} = S \cdot H$

Таким образом, $F_g = \rho_л \cdot S \cdot H \cdot g$.

Выталкивающая сила $F_A$ равна весу вытесненной воды:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объем погруженной части льдины.

Объем погруженной части равен произведению площади основания $S$ на высоту погруженной части $H_{погр}$:

$V_{погр} = S \cdot H_{погр}$

Таким образом, $F_A = \rho_в \cdot g \cdot S \cdot H_{погр}$.

Полная высота льдины $H$ складывается из высоты надводной части $h$ и высоты погруженной части $H_{погр}$:

$H = H_{погр} + h$

Приравняем силу тяжести и выталкивающую силу:

$\rho_л \cdot S \cdot H \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot S \cdot H_{погр}$

Сократим $g$ и $S$ в обеих частях уравнения:

$\rho_л \cdot H = \rho_в \cdot H_{погр}$

Подставим выражение для $H$:

$\rho_л \cdot (H_{погр} + h) = \rho_в \cdot H_{погр}$

Раскроем скобки и выразим $H_{погр}$:

$\rho_л \cdot H_{погр} + \rho_л \cdot h = \rho_в \cdot H_{погр}$

$\rho_л \cdot h = \rho_в \cdot H_{погр} - \rho_л \cdot H_{погр}$

$\rho_л \cdot h = H_{погр} \cdot (\rho_в - \rho_л)$

$H_{погр} = \frac{\rho_л \cdot h}{\rho_в - \rho_л}$

Подставим числовые значения и вычислим высоту погруженной части:

$H_{погр} = \frac{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,02 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3} = \frac{18 \text{ кг/м}^2}{100 \text{ кг/м}^3} = 0,18 \text{ м}$

Теперь мы можем найти массу льдины. Масса плавающего тела равна массе вытесненной им жидкости:

$m = m_в = \rho_в \cdot V_{погр} = \rho_в \cdot S \cdot H_{погр}$

Подставим значения и вычислим массу:

$m = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,02 \text{ м}^2 \cdot 0,18 \text{ м} = 3,6 \text{ кг}$

Ответ: масса льдины равна 3,6 кг.