Номер 736, страница 145 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h_1 = 9,1$ см

$h_2 = 10,8$ см

$V_1 = 5,1$ мл

$S = 3,6$ см$^2$

$\rho_в = 1000$ кг/м$^3$

Перевод в систему СИ:
$h_1 = 9,1 \text{ см} = 0,091 \text{ м}$
$h_2 = 10,8 \text{ см} = 0,108 \text{ м}$
$V_1 = 5,1 \text{ мл} = 5,1 \text{ см}^3 = 5,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$S = 3,6 \text{ см}^2 = 3,6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$\rho_с$ - плотность сиропа.

Решение:

Пробирка плавает в воде, следовательно, сила тяжести, действующая на пробирку с содержимым, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).

В первом случае, до добавления сиропа, условие плавания выглядит так:

$P_1 = F_{A1}$

где $P_1$ — вес пробирки с начальным количеством сиропа, $F_{A1}$ — сила Архимеда.

Расшифруем: $m_{общ1} g = \rho_в g V_{погр1}$, где $m_{общ1}$ — общая масса пробирки с сиропом, $g$ — ускорение свободного падения, $\rho_в$ — плотность воды, $V_{погр1}$ — объем погруженной части пробирки.

Объем погруженной части равен $V_{погр1} = S h_1$. Тогда:

$m_{общ1} g = \rho_в g S h_1$ (1)

Во втором случае, после добавления сиропа объемом $V_1$ и массой $m_1$, условие плавания:

$P_2 = F_{A2}$

$(m_{общ1} + m_1) g = \rho_в g V_{погр2}$

Объем погруженной части стал $V_{погр2} = S h_2$. Масса добавленного сиропа $m_1 = \rho_с V_1$. Тогда:

$(m_{общ1} + \rho_с V_1) g = \rho_в g S h_2$ (2)

Сократим $g$ в обеих частях уравнений (1) и (2):

$m_{общ1} = \rho_в S h_1$

$m_{общ1} + \rho_с V_1 = \rho_в S h_2$

Подставим выражение для $m_{общ1}$ из первого уравнения во второе:

$\rho_в S h_1 + \rho_с V_1 = \rho_в S h_2$

Выразим отсюда искомую плотность сиропа $\rho_с$:

$\rho_с V_1 = \rho_в S h_2 - \rho_в S h_1$

$\rho_с V_1 = \rho_в S (h_2 - h_1)$

$\rho_с = \frac{\rho_в S (h_2 - h_1)}{V_1}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\rho_с = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3,6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (0,108 \text{ м} - 0,091 \text{ м})}{5,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}$

$\rho_с = \frac{1000 \cdot 3,6 \cdot 10^{-4} \cdot 0,017}{5,1 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_с = \frac{0,00612}{5,1 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = \frac{6,12 \cdot 10^{-3}}{5,1 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1,2 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность сиропа равна $1200$ кг/м$^3$.