Номер 730, страница 144 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Площадь основания льдины $S = 4,0 \text{ м}^2$

Максимальная масса тюленя $m = 60 \text{ кг}$

Примем справочные значения:

Плотность пресной воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность льда $\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$ (или $10 \text{ м/с}^2$)

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Толщину льдины $h$.

Решение:

Льдина с тюленем будет плавать в воде, если действующая на них суммарная сила тяжести уравновешена выталкивающей силой Архимеда. Условие, что льдина может удержать тюленя *максимальной* массы, означает, что льдина погружена в воду полностью, до своей верхней кромки. Это состояние максимальной выталкивающей силы.

Запишем условие равновесия сил:

$F_A = F_{тяж. общ.}$

Общая сила тяжести $F_{тяж. общ.}$ складывается из силы тяжести тюленя $F_{т}$ и силы тяжести самой льдины $F_{л}$:

$F_{тяж. общ.} = F_{т} + F_{л}$

Сила тяжести тюленя: $F_{т} = m \cdot g$

Сила тяжести льдины: $F_{л} = m_л \cdot g$. Массу льдины $m_л$ выразим через ее плотность $\rho_л$ и объем $V_л$: $m_л = \rho_л \cdot V_л$. Объем льдины, имеющей форму плоского параллелепипеда, равен произведению площади основания $S$ на толщину $h$: $V_л = S \cdot h$.

Следовательно, $F_{л} = \rho_л \cdot S \cdot h \cdot g$.

Тогда общая сила тяжести равна: $F_{тяж. общ.} = (m + \rho_л \cdot S \cdot h) \cdot g$.

Выталкивающая сила Архимеда $F_A$ равна весу вытесненной жидкости. Так как льдина погружена полностью, объем вытесненной воды равен объему льдины $V_л$.

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_л = \rho_в \cdot g \cdot S \cdot h$

Теперь приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$(m + \rho_л \cdot S \cdot h) \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot S \cdot h$

Можно сократить ускорение свободного падения $g$:

$m + \rho_л \cdot S \cdot h = \rho_в \cdot S \cdot h$

Выразим из этого уравнения искомую толщину $h$. Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие $h$:

$m = \rho_в \cdot S \cdot h - \rho_л \cdot S \cdot h$

$m = (\rho_в - \rho_л) \cdot S \cdot h$

Отсюда находим $h$:

$h = \frac{m}{(\rho_в - \rho_л) \cdot S}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$h = \frac{60 \text{ кг}}{(1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3) \cdot 4,0 \text{ м}^2} = \frac{60}{100 \cdot 4,0} = \frac{60}{400} = 0,15 \text{ м}$

Ответ: толщина льдины составляет $0,15$ м (или $15$ см).