Номер 729, страница 144 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса пробкового поплавка, $m_1 = 102$ г

Система находится в воде и полностью погружена.

Для решения задачи потребуются справочные данные о плотностях веществ:

Плотность пробки, $\rho_1 \approx 240$ кг/м$^3$

Плотность алюминия, $\rho_2 \approx 2700$ кг/м$^3$

Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м$^3$

Переведем массу поплавка в систему СИ:

$m_1 = 102 \text{ г} = 0.102 \text{ кг}$

Найти:

Массу алюминиевого груза $m_2$.

Решение:

По условию, поплавок с грузом находится в воде, целиком погрузившись. Это означает, что система находится в равновесии. Условие равновесия заключается в том, что суммарная сила тяжести, действующая на поплавок и груз, уравновешивается суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на них.

Суммарная сила тяжести $F_g$ равна сумме сил тяжести поплавка ($F_{g1}$) и груза ($F_{g2}$):

$F_g = F_{g1} + F_{g2} = m_1 g + m_2 g = (m_1 + m_2)g$

Суммарная выталкивающая сила $F_A$ равна сумме выталкивающих сил, действующих на поплавок ($F_{A1}$) и груз ($F_{A2}$):

$F_A = F_{A1} + F_{A2} = \rho_в g V_1 + \rho_в g V_2 = \rho_в g (V_1 + V_2)$

Здесь $V_1$ и $V_2$ – объемы поплавка и груза соответственно. Объемы можно выразить через массу и плотность:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1}$

$V_2 = \frac{m_2}{\rho_2}$

Приравняем силу тяжести и выталкивающую силу:

$(m_1 + m_2)g = \rho_в g (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:

$m_1 + m_2 = \rho_в (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с искомой массой $m_2$ в одной части уравнения:

$m_1 + m_2 = \frac{\rho_в m_1}{\rho_1} + \frac{\rho_в m_2}{\rho_2}$

$m_2 - \frac{\rho_в m_2}{\rho_2} = \frac{\rho_в m_1}{\rho_1} - m_1$

Вынесем $m_2$ и $m_1$ за скобки:

$m_2 (1 - \frac{\rho_в}{\rho_2}) = m_1 (\frac{\rho_в}{\rho_1} - 1)$

Отсюда выразим $m_2$:

$m_2 = m_1 \frac{\frac{\rho_в}{\rho_1} - 1}{1 - \frac{\rho_в}{\rho_2}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_2 = 0.102 \cdot \frac{\frac{1000}{240} - 1}{1 - \frac{1000}{2700}} = 0.102 \cdot \frac{\frac{25}{6} - 1}{1 - \frac{10}{27}} = 0.102 \cdot \frac{\frac{25-6}{6}}{\frac{27-10}{27}}$

$m_2 = 0.102 \cdot \frac{\frac{19}{6}}{\frac{17}{27}} = 0.102 \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{27}{17}$

Выполним вычисления:

$m_2 = 0.102 \cdot \frac{19 \cdot 27}{6 \cdot 17} = 0.102 \cdot \frac{513}{102} = 0.513$ кг

Переведем массу обратно в граммы: $0.513 \text{ кг} = 513 \text{ г}$.

Ответ: масса груза равна 513 г.