Лабораторная работа №1, страница 180 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений

Цель: научиться определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измерений в интервальной форме.

Оборудование: мерная лента, металлический шарик на нити длиной $l = 1$ м, секундомер, штатив со стержнем, треугольник (рис. 266).

Рис. 266

Вывод расчетных формул

Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно по шкале прибора. Результат любого измерения содержит погрешность. Систематическая погрешность связана в основном с несовершенством измерительного прибора и округлениями при отсчетах и вычислениях. При повторении измерений систематическая погрешность остается неизменной.

Случайная погрешность — это погрешность, которая от одного измерения к другому изменяется непредсказуемым образом. Для определения случайной погрешности необходимо провести серию повторных измерений.

Абсолютная погрешность измерения промежутка времени равна:

$\Delta t = \Delta t_{\text{сист}} + \Delta t_{\text{случ}}$ (1)

Абсолютная систематическая погрешность $\Delta t_{\text{сист}}$

Определяется суммой предельной абсолютной погрешности прибора (секундомера) $\Delta t_{\text{пр}}$ и абсолютной погрешности отсчета $\Delta t_{\text{отсч}}$:

$\Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}}$

Значение $\Delta t_{\text{пр}}$ берется из таблицы 4. Абсолютная погрешность отсчета $\Delta t_{\text{отсч}}$ равна половине цены деления шкалы секундомера. Если секундомер механический, то его стрелка от штриха к штриху движется скачками. Ее остановка между штрихами невозможна. Поэтому абсолютная погрешность отсчета $\Delta t_{\text{отсч}}$ для секундомера равна цене деления его шкалы.

Максимальное значение абсолютной случайной погрешности измерения промежутка времени

$\Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} = \langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle \cdot k$ (2)

где $\langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle$ — среднее значение абсолютной случайной погрешности. Коэффициент $k$ зависит от числа повторных измерений. Например, при пяти повторных измерениях $k = 3$, при семи $k = 2$, при десяти и более — $k = 1$.

Относительная погрешность $\varepsilon_t$

Определяет, какую часть в процентах от среднего значения измеряемой величины (промежутка времени) составляет значение абсолютной погрешности:

$\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\,\%$ (3)

Окончательный результат записывается в интервальной форме:

$t = \langle t \rangle \pm \Delta t$; $\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\,\%$

Например, $t = (5,0 \pm 0,1)$ c, тогда $\varepsilon_t = \frac{0,1}{5,0} \cdot 100\,\% = 2\,\%$.

Ход работы

1. К стержню штатива прикрепите нить с шариком (рис. 266). Отведите шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила с вертикалью угол $\alpha = 30°$ (угол определяется треугольником). Отпустите шарик и, одновременно нажав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток времени, через который шарик снова окажется в точке А.

2. Повторите опыт не менее 5 раз.

3. Вычислите среднее значение промежутка времени:

$\langle t \rangle = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}{5}$

4. Вычислите абсолютную случайную погрешность при каждом измерении и среднее значение $\Delta t_{\text{случ}}$ при пяти измерениях:

$\Delta t_{\text{случ}1} = |t_1 - \langle t \rangle|$;

$\Delta t_{\text{случ}2} = |t_2 - \langle t \rangle|$;

...

$\Delta t_{\text{случ}5} = |t_5 - \langle t \rangle|$;

$\langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle = \frac{\Delta t_{\text{случ}1} + \Delta t_{\text{случ}2} + \ldots + \Delta t_{\text{случ}5}}{5}$

5. Определите максимальное значение случайной погрешности:

$\Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} = 3\langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle$.

6. Определите абсолютную систематическую погрешность:

$\Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}}$.

Предельную абсолютную погрешность $\Delta t_{\text{пр}}$ секундомера найдите в таблице 4. Абсолютную погрешность отсчета $\Delta t_{\text{отсч}}$ определите как цену деления механического секундомера.

7. Вычислите абсолютную $\Delta t$ погрешность прямого измерения промежутка времени:

$\Delta t = \Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} + \Delta t_{\text{сист}}$.

8. Вычислите относительную погрешность $\varepsilon_t$ измерения:

$\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\,\%$.

9. Запишите окончательный результат в интервальной форме:

$t = \langle t \rangle \pm \Delta t$; $\varepsilon_t = \ldots\,\%$.

Контрольные вопросы

1. Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?

2. Будет ли такой же относительная погрешность измерения промежутка времени, если нить с шариком отклонить на угол 45°? Почему?

3. Если при трех и более повторных измерениях данным прибором получены одинаковые значения физической величины, то чему равны абсолютная случайная и систематическая погрешность? Относительная погрешность?

Таблица 4. Предельные абсолютные погрешности некоторых мер и приборов

Приборы и меры | Значение меры, диапазон измерений | Предельная абсолютная погрешность

Линейки:

деревянные | 400, 500, 750 мм | 5 мм

пластмассовые | 200, 250, 300 мм | 1 мм

Мерная лента | 150,0 см | 0,3 см

Гири для технических анализов:

10–100 мг | 1 мг

200 мг | 2 мг

500 мг | 3 мг

1 г | 4 мг

2 г | 6 мг

5 г | 8 мг

10 г | 12 мг

20 г | 20 мг

50 г | 30 мг

100 г | 40 мг

Секундомеры механические | 30–60 с (один оборот) | 1,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

Секундомеры электрические | 30 с | 0,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

Секундомеры электронные | 30 с | 0,5 цены деления

1. Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?

Абсолютно точно измерить физическую величину прибором невозможно, поскольку результат любого измерения неизбежно содержит погрешности. Эти погрешности делятся на два основных вида: систематические и случайные.

Систематическая погрешность ( $\Delta_{сист}$ ) обусловлена несовершенством самого измерительного прибора (например, конечной точностью его шкалы, называемой ценой деления) и методом измерения. Эта погрешность постоянна при повторных измерениях в одних и тех же условиях. Например, если цена деления линейки 1 мм, то невозможно измерить длину с точностью до долей миллиметра, используя только эту линейку. Эта инструментальная погрешность всегда присутствует.

Случайная погрешность ( $\Delta_{случ}$ ) возникает из-за множества неконтролируемых факторов, которые меняются от измерения к измерению непредсказуемым образом. К ним относятся, например, колебания условий окружающей среды, незначительные изменения в положении прибора, ошибки наблюдателя (например, разное время реакции при включении и выключении секундомера).

Полная абсолютная погрешность измерения ( $\Delta t$ ) является суммой максимальной случайной и систематической погрешностей. Поскольку оба вида погрешностей принципиально неустранимы и всегда присутствуют в любом реальном эксперименте, полная погрешность никогда не может быть равной нулю. Следовательно, результат измерения всегда представляет собой не одно точное число, а интервал значений, внутри которого с определенной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины.

Ответ: Абсолютно точное измерение невозможно, так как любой измерительный прибор имеет предел точности (инструментальную погрешность), а на процесс измерения влияют неконтролируемые случайные факторы. Совокупность этих систематических и случайных погрешностей делает невозможным получение результата с нулевой погрешностью.

Относительная погрешность измерения не будет такой же, она уменьшится.

Относительная погрешность ( $\varepsilon_t$ ) вычисляется по формуле:

$\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\%$

где $\Delta t$ — полная абсолютная погрешность, а $\langle t \rangle$ — среднее значение измеряемого промежутка времени (периода колебаний маятника).

Рассмотрим, как изменятся величины в этой формуле при увеличении угла отклонения с 30° до 45°:

1. Среднее значение времени $\langle t \rangle$: Период колебаний математического маятника зависит от амплитуды (угла отклонения). При больших углах, чем больше угол, тем больше период. Следовательно, при отклонении на 45° маятник будет колебаться медленнее, и измеренное время $\langle t \rangle$ увеличится по сравнению с измерением при угле 30°.

2. Абсолютная погрешность $\Delta t$: Полная абсолютная погрешность $\Delta t = \Delta t_{случ}^{max} + \Delta t_{сист}$. Систематическая погрешность $\Delta t_{сист}$ зависит от секундомера и не меняется. Случайная погрешность $\Delta t_{случ}$ связана с реакцией экспериментатора. Можно предположить, что абсолютная ошибка в фиксации момента времени не зависит от длительности самого измеряемого интервала. Таким образом, полная абсолютная погрешность $\Delta t$ останется примерно постоянной.

Поскольку в дроби $\frac{\Delta t}{\langle t \rangle}$ числитель ( $\Delta t$ ) остается практически неизменным, а знаменатель ( $\langle t \rangle$ ) увеличивается, значение всей дроби уменьшается. Следовательно, относительная погрешность $\varepsilon_t$ станет меньше.

Ответ: Нет, относительная погрешность уменьшится. Это произойдет потому, что при увеличении угла отклонения до 45° увеличится измеряемый период колебаний $\langle t \rangle$, в то время как абсолютная погрешность измерения $\Delta t$, зависящая от прибора и реакции наблюдателя, останется практически прежней. Увеличение знаменателя при постоянном числителе в формуле для относительной погрешности приводит к ее уменьшению.

Если в серии из $n$ измерений (где $n \ge 3$) получены одинаковые значения $t_1 = t_2 = ... = t_n = t_{const}$, то:

1. Абсолютная случайная погрешность:

Среднее значение измерений будет равно $\langle t \rangle = t_{const}$.

Абсолютная случайная погрешность для каждого измерения вычисляется как $\Delta t_{случ, i} = |t_i - \langle t \rangle|$. В данном случае для всех измерений $\Delta t_{случ, i} = |t_{const} - t_{const}| = 0$.

Средняя абсолютная случайная погрешность $\langle \Delta t_{случ} \rangle$ и максимальная абсолютная случайная погрешность $\Delta t_{случ}^{max}$ также будут равны нулю.

2. Абсолютная систематическая погрешность:

Систематическая погрешность $\Delta t_{сист}$ определяется характеристиками прибора (инструментальная погрешность $\Delta t_{пр}$) и погрешностью отсчета ($\Delta t_{отсч}$). Она не зависит от разброса результатов измерений. Тот факт, что все показания совпали, не означает, что прибор абсолютно точен. Следовательно, систематическая погрешность не равна нулю. Ее значение определяется классом точности прибора и ценой его деления, как указано в методическом пособии (например, по таблице 4).

3. Относительная погрешность:

Полная абсолютная погрешность $\Delta t$ равна сумме максимальной случайной и систематической погрешностей: $\Delta t = \Delta t_{случ}^{max} + \Delta t_{сист}$. Поскольку $\Delta t_{случ}^{max} = 0$, то $\Delta t = \Delta t_{сист}$.

Относительная погрешность $\varepsilon_t$ вычисляется как $\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\% = \frac{\Delta t_{сист}}{t_{const}} \cdot 100\%$.

Так как систематическая погрешность $\Delta t_{сист}$ не равна нулю, то и относительная погрешность не будет равна нулю.

Ответ: Абсолютная случайная погрешность равна нулю. Абсолютная систематическая погрешность не равна нулю и определяется характеристиками измерительного прибора. Относительная погрешность также не равна нулю и вычисляется как отношение систематической погрешности к измеренному значению.