Номер 3, страница 15 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Может ли модуль вектора $\vec{ka}$ быть меньше модуля вектора $\vec{a}$? При каком условии?

3. Может ли модуль вектора $k\vec{a}$ быть меньше модуля вектора $\vec{a}$? При каком условии?

Решение

Да, модуль вектора $k\vec{a}$ может быть меньше модуля вектора $\vec{a}$. Разберем, при каком условии это возможно.

Модуль вектора, полученного в результате умножения вектора $\vec{a}$ на скаляр (число) $k$, вычисляется по следующему свойству:

$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

Здесь $|k|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $k$, а $|\vec{a}|$ — это модуль (длина) вектора $\vec{a}$.

Нам необходимо найти условие, при котором будет выполняться неравенство:

$|k\vec{a}| < |\vec{a}|$

Используя свойство модуля, перепишем это неравенство:

$|k| \cdot |\vec{a}| < |\vec{a}|$

Для того чтобы это неравенство имело смысл, будем считать, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым, то есть его модуль $|\vec{a}| > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|\vec{a}|$, при этом знак неравенства не изменится:

$\frac{|k| \cdot |\vec{a}|}{|\vec{a}|} < \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}$

После сокращения получаем:

$|k| < 1$

Это неравенство означает, что абсолютная величина скаляра $k$ должна быть меньше единицы. Данное условие можно также записать в виде двойного неравенства:

$-1 < k < 1$

Таким образом, если умножить ненулевой вектор на любое число из интервала от -1 до 1 (не включая концы), то модуль (длина) результирующего вектора будет меньше модуля исходного вектора.

Ответ: Да, может. Модуль вектора $k\vec{a}$ меньше модуля вектора $\vec{a}$ при условии, что модуль скалярного множителя $k$ меньше единицы, то есть $|k|<1$ (что эквивалентно $-1 < k < 1$).