Номер 1, страница 15 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

Вырежьте из плотной бумаги пять стрелок различной длины: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см, $d = 7$ см, $e = 9$ см. Стрелки моделируют векторы. Обозначьте векторы, соответственно, как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$.

Покажите на моделях, как складывать и вычитать векторы.

Какими будут углы между векторами для каждого из равенств: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$?

Каковы максимальное и минимальное значения модуля суммы и модуля разности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$? Для $\vec{c}$ и $\vec{d}$?

Дано:

Модули (длины) векторов:

$|\vec{a}| = a = 3$ см

$|\vec{b}| = b = 4$ см

$|\vec{c}| = c = 5$ см

$|\vec{d}| = d = 7$ см

$|\vec{e}| = e = 9$ см

Перевод в систему СИ:

Найти:

1. Углы между векторами для заданных равенств.

2. Максимальные и минимальные значения модуля суммы и модуля разности для пар векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ и $(\vec{c}, \vec{d})$.

Решение:

Покажите на моделях, как складывать и вычитать векторы.

Сложение и вычитание векторов можно продемонстрировать с помощью вырезанных стрелок, используя следующие правила:

1. Сложение векторов (правило треугольника): Чтобы сложить два вектора, например $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно совместить начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет направлен от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$, замыкая треугольник.

2. Сложение векторов (правило параллелограмма): Нужно совместить начала векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в одной точке. Затем на этих векторах, как на сторонах, достроить параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, будет являться их суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

3. Вычитание векторов: Вычитание вектора $\vec{b}$ из вектора $\vec{a}$ ($\vec{a} - \vec{b}$) равносильно сложению вектора $\vec{a}$ с вектором, противоположным $\vec{b}$ (то есть с вектором $-\vec{b}$). Вектор $-\vec{b}$ имеет такую же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Таким образом, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Сложение выполняется по одному из правил выше. Другой способ: если совместить начала векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$.

Какими будут углы между векторами для каждого из равенств: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$?

Для нахождения угла между векторами воспользуемся теоремой косинусов для векторов. Модуль суммы двух векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$, угол между которыми равен $\theta$, вычисляется по формуле: $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$. Модуль разности: $|\vec{A} - \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$.

1. Для равенства $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$. Пусть угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha_1$.
$|\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha_1$
$d^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha_1$
$7^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos\alpha_1$
$49 = 9 + 16 + 24\cos\alpha_1$
$49 = 25 + 24\cos\alpha_1$
$24 = 24\cos\alpha_1$
$\cos\alpha_1 = 1$
$\alpha_1 = 0^\circ$ (векторы сонаправлены).
Ответ: $0^\circ$.

2. Для равенства $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$. Пусть угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha_2$.
$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha_2$
$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha_2$
$5^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos\alpha_2$
$25 = 9 + 16 + 24\cos\alpha_2$
$25 = 25 + 24\cos\alpha_2$
$0 = 24\cos\alpha_2$
$\cos\alpha_2 = 0$
$\alpha_2 = 90^\circ$ (векторы перпендикулярны).
Ответ: $90^\circ$.

3. Для равенства $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$. Пусть угол между $\vec{b}$ и $\vec{e}$ равен $\alpha_3$.
$|\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{e}|^2 - 2|\vec{b}||\vec{e}|\cos\alpha_3$
$c^2 = b^2 + e^2 - 2be\cos\alpha_3$
$5^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cos\alpha_3$
$25 = 16 + 81 - 72\cos\alpha_3$
$25 = 97 - 72\cos\alpha_3$
$72\cos\alpha_3 = 72$
$\cos\alpha_3 = 1$
$\alpha_3 = 0^\circ$ (векторы сонаправлены).
Ответ: $0^\circ$.

4. Для равенства $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$. Пусть угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha_4$.
$|\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha_4$
$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha_4$
$7^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos\alpha_4$
$49 = 9 + 16 - 24\cos\alpha_4$
$49 = 25 - 24\cos\alpha_4$
$24 = -24\cos\alpha_4$
$\cos\alpha_4 = -1$
$\alpha_4 = 180^\circ$ (векторы противоположно направлены).
Ответ: $180^\circ$.

Каковы максимальное и минимальное значения модуля суммы и модуля разности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$? Для $\vec{c}$ и $\vec{d}$?

Максимальное значение модуля суммы и модуля разности двух векторов достигается, когда они коллинеарны, и равно сумме их модулей. Минимальное значение достигается, когда они коллинеарны, и равно модулю разности их модулей.

Для любых векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$ справедливо:
$|\vec{A} + \vec{B}|_{max} = |\vec{A}| + |\vec{B}|$
$|\vec{A} + \vec{B}|_{min} = ||\vec{A}| - |\vec{B}||$
$|\vec{A} - \vec{B}|_{max} = |\vec{A}| + |\vec{B}|$
$|\vec{A} - \vec{B}|_{min} = ||\vec{A}| - |\vec{B}||$

1. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($a=3$ см, $b=4$ см):
Модуль суммы:
Максимальное значение: $|\vec{a} + \vec{b}|_{max} = a + b = 3 + 4 = 7$ см.
Минимальное значение: $|\vec{a} + \vec{b}|_{min} = |a - b| = |3 - 4| = 1$ см.
Модуль разности:
Максимальное значение: $|\vec{a} - \vec{b}|_{max} = a + b = 3 + 4 = 7$ см.
Минимальное значение: $|\vec{a} - \vec{b}|_{min} = |a - b| = |3 - 4| = 1$ см.
Ответ: для суммы и разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ максимальное значение модуля равно 7 см, минимальное — 1 см.

2. Для векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ ($c=5$ см, $d=7$ см):
Модуль суммы:
Максимальное значение: $|\vec{c} + \vec{d}|_{max} = c + d = 5 + 7 = 12$ см.
Минимальное значение: $|\vec{c} + \vec{d}|_{min} = |c - d| = |5 - 7| = 2$ см.
Модуль разности:
Максимальное значение: $|\vec{c} - \vec{d}|_{max} = c + d = 5 + 7 = 12$ см.
Минимальное значение: $|\vec{c} - \vec{d}|_{min} = |c - d| = |5 - 7| = 2$ см.
Ответ: для суммы и разности векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ максимальное значение модуля равно 12 см, минимальное — 2 см.