Номер 4, страница 18 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

4. Равна ли проекция разности двух векторов на ось разности проекций этих векторов на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа.

Да, проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

Решение

Это утверждение верно, так как операция нахождения проекции вектора на ось является линейной. Докажем это утверждение с помощью геометрического построения, которое можно представить на чертеже.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и ось $L$. Нам необходимо доказать, что проекция их разности $(\vec{a} - \vec{b})$ на ось $L$ равна разности их проекций:

$\text{пр}_L(\vec{a} - \vec{b}) = \text{пр}_L(\vec{a}) - \text{пр}_L(\vec{b})$

Геометрическое доказательство:

1. Отложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от общего начала — точки $O$. Пусть конец вектора $\vec{a}$ будет в точке $A$, а конец вектора $\vec{b}$ — в точке $B$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$.

2. Вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ по правилу вычитания векторов равен вектору $\vec{BA}$, который соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).

3. Спроецируем точки $O, A, B$ на ось $L$. Для этого опустим из них перпендикуляры на ось и получим точки-проекции $O_L, A_L, B_L$. Пусть их координаты на оси $L$ равны $x_O, x_A$ и $x_B$ соответственно.

4. По определению, скалярная проекция вектора на ось равна разности координат проекций его конца и начала. Найдем проекции векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\text{пр}_L(\vec{a}) = \text{пр}_L(\vec{OA}) = x_A - x_O$

$\text{пр}_L(\vec{b}) = \text{пр}_L(\vec{OB}) = x_B - x_O$

5. Найдем разность этих проекций:

$\text{пр}_L(\vec{a}) - \text{пр}_L(\vec{b}) = (x_A - x_O) - (x_B - x_O) = x_A - x_O - x_B + x_O = x_A - x_B$.

6. Теперь найдем проекцию вектора разности $\vec{c} = \vec{BA}$ на ту же ось $L$. Его начало — точка $B$, конец — точка $A$.

$\text{пр}_L(\vec{c}) = \text{пр}_L(\vec{BA}) = x_A - x_B$.

7. Сравнивая результаты, полученные в пунктах 5 и 6, видим, что они одинаковы. Таким образом, равенство $\text{пр}_L(\vec{a} - \vec{b}) = \text{пр}_L(\vec{a}) - \text{пр}_L(\vec{b})$ доказано.

Ответ: Да, проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.