Номер 5, страница 19 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{b}$. Модули $a = b = 4$. Постройте сумму векторов $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ и разность $\alpha\vec{a} - \beta\vec{b}$, если:

1) $\alpha = 2, \beta = 4$;

2) $\alpha = -2, \beta = 0,5$.

Рис. 11

Дано:

$\vec{a} \perp \vec{b}$

$a = |\vec{a}| = 4$

$b = |\vec{b}| = 4$

Найти:

Построить векторы $\vec{s} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ и $\vec{d} = \alpha\vec{a} - \beta\vec{b}$ и найти их модули.

Решение:

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то и векторы $\alpha\vec{a}$ и $\beta\vec{b}$ также перпендикулярны друг другу. Для построения их суммы или разности можно использовать правило прямоугольника. Модуль результирующего вектора (суммы или разности) будет равен длине диагонали этого прямоугольника и может быть найден по теореме Пифагора.

Модуль вектора суммы $\vec{s} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ равен $s = |\vec{s}| = \sqrt{(|\alpha|a)^2 + (|\beta|b)^2}$.

Модуль вектора разности $\vec{d} = \alpha\vec{a} - \beta\vec{b}$ равен $d = |\vec{d}| = \sqrt{(|\alpha|a)^2 + (|\beta|b)^2}$.

В данном случае модули суммы и разности векторов равны, так как компоненты, из которых они состоят, перпендикулярны.

1) $\alpha = 2, \beta = 4$

Сначала найдем векторы-компоненты $\alpha\vec{a}$ и $\beta\vec{b}$.

Вектор $2\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и имеет модуль $|2\vec{a}| = 2 \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8$.

Вектор $4\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$ и имеет модуль $|4\vec{b}| = 4 \cdot |\vec{b}| = 4 \cdot 4 = 16$.

Для построения суммы $2\vec{a} + 4\vec{b}$ откладываем от одной точки два перпендикулярных вектора с длинами 8 и 16. Вектор суммы будет диагональю прямоугольника, построенного на этих векторах. Его модуль:

$s_1 = |2\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$.

Для построения разности $2\vec{a} - 4\vec{b}$ нужно построить сумму векторов $2\vec{a}$ и $(-4\vec{b})$. Вектор $-4\vec{b}$ противонаправлен вектору $\vec{b}$ и имеет модуль 16. Векторы $2\vec{a}$ и $-4\vec{b}$ также перпендикулярны. Разность строится как диагональ прямоугольника, построенного на векторах $2\vec{a}$ и $-4\vec{b}$. Его модуль:

$d_1 = |2\vec{a} - 4\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-16)^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$.

Ответ: Вектор суммы $2\vec{a} + 4\vec{b}$ и вектор разности $2\vec{a} - 4\vec{b}$ строятся как диагонали прямоугольников со сторонами 8 и 16. Модули векторов суммы и разности равны $8\sqrt{5}$.

2) $\alpha = -2, \beta = 0,5$

Найдем векторы-компоненты $\alpha\vec{a}$ и $\beta\vec{b}$.

Вектор $-2\vec{a}$ противонаправлен вектору $\vec{a}$ и имеет модуль $|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8$.

Вектор $0,5\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$ и имеет модуль $|0,5\vec{b}| = 0,5 \cdot |\vec{b}| = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Векторы $-2\vec{a}$ и $0,5\vec{b}$ перпендикулярны. Для построения суммы $-2\vec{a} + 0,5\vec{b}$ откладываем от одной точки два перпендикулярных вектора с длинами 8 и 2. Вектор суммы будет диагональю прямоугольника, построенного на этих векторах. Его модуль:

$s_2 = |-2\vec{a} + 0,5\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

Для построения разности $-2\vec{a} - 0,5\vec{b}$ нужно построить сумму векторов $-2\vec{a}$ и $(-0,5\vec{b})$. Вектор $-0,5\vec{b}$ противонаправлен вектору $\vec{b}$ и имеет модуль 2. Векторы $-2\vec{a}$ и $-0,5\vec{b}$ также перпендикулярны. Разность строится как диагональ прямоугольника, построенного на векторах $-2\vec{a}$ и $-0,5\vec{b}$. Его модуль:

$d_2 = |-2\vec{a} - 0,5\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.

Ответ: Вектор суммы $-2\vec{a} + 0,5\vec{b}$ и вектор разности $-2\vec{a} - 0,5\vec{b}$ строятся как диагонали прямоугольников со сторонами 8 и 2. Модули векторов суммы и разности равны $2\sqrt{17}$.