Номер 6, страница 23 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки часов в вашей квартире (в вашем доме) за промежутки времени $ \Delta t_1 = 3,0 \text{ ч}$; $ \Delta t_2 = 6,0 \text{ ч}$; $ \Delta t_3 = 12 \text{ ч}$; $ \Delta t_4 = 24 \text{ ч}$. Решение подтвердите рисунком. Длину часовой стрелки измерьте сами.

Для решения задачи необходимо знать длину часовой стрелки. Поскольку в условии задачи предлагается измерить ее самостоятельно, примем для расчетов некоторое типичное значение. Пусть длина часовой стрелки настенных часов равна 10 см.

Дано:
Длина часовой стрелки (радиус вращения ее конца): $R = 10 \text{ см}$
Период обращения часовой стрелки: $T = 12 \text{ ч}$
Промежутки времени:
$\Delta t_1 = 3,0 \text{ ч}$
$\Delta t_2 = 6,0 \text{ ч}$
$\Delta t_3 = 12 \text{ ч}$
$\Delta t_4 = 24 \text{ ч}$

Переведем данные в систему СИ:
$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$T = 12 \text{ ч} = 12 \cdot 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$
$\Delta t_1 = 3,0 \text{ ч} = 3,0 \cdot 3600 \text{ с} = 10800 \text{ с}$
$\Delta t_2 = 6,0 \text{ ч} = 6,0 \cdot 3600 \text{ с} = 21600 \text{ с}$
$\Delta t_3 = 12 \text{ ч} = 12 \cdot 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$
$\Delta t_4 = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:
Путь $S_1, S_2, S_3, S_4$
Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_1|, |\Delta\vec{r}_2|, |\Delta\vec{r}_3|, |\Delta\vec{r}_4|$

Решение:

Конец часовой стрелки движется по окружности радиусом $R$, равным длине стрелки. Период обращения часовой стрелки $T = 12 \text{ часов}$.

Путь $S$, пройденный концом стрелки, — это длина дуги окружности. Он вычисляется по формуле $S = R \cdot \phi$, где $\phi$ — угол поворота стрелки в радианах. Угол поворота можно найти из соотношения: $\phi = \frac{\Delta t}{T} \cdot 2\pi$.

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — это длина хорды, соединяющей начальное и конечное положение конца стрелки. Его можно найти по теореме косинусов для равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2\cos\phi} = R\sqrt{2(1-\cos\phi)}$. Используя формулу половинного угла $1-\cos\phi = 2\sin^2(\phi/2)$, получаем: $|\Delta\vec{r}| = 2R|\sin(\phi/2)|$.

$\Delta t_1 = 3,0 \text{ ч}$

За 3 часа часовая стрелка повернется на угол $\phi_1$:$\phi_1 = \frac{\Delta t_1}{T} \cdot 2\pi = \frac{3 \text{ ч}}{12 \text{ ч}} \cdot 2\pi = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$ (или $90^\circ$).

Путь $S_1$ равен четверти длины окружности:$S_1 = R \cdot \phi_1 = R \frac{\pi}{2} = 0,1 \text{ м} \cdot \frac{3,14}{2} \approx 0,157 \text{ м}$.

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_1|$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $R$:$|\Delta\vec{r}_1| = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 0,1 \text{ м} \cdot \sqrt{2} \approx 0,1 \cdot 1,414 = 0,141 \text{ м}$.

Рисунок, иллюстрирующий движение. Начальное положение — на 12 часов, конечное — на 3 часа. Путь (красная дуга) и перемещение (синий вектор).

Ответ: Путь $S_1 \approx 0,157 \text{ м}$, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_1| \approx 0,141 \text{ м}$.

$\Delta t_2 = 6,0 \text{ ч}$

За 6 часов часовая стрелка повернется на угол $\phi_2$:$\phi_2 = \frac{\Delta t_2}{T} \cdot 2\pi = \frac{6 \text{ ч}}{12 \text{ ч}} \cdot 2\pi = \pi \text{ рад}$ (или $180^\circ$).

Путь $S_2$ равен половине длины окружности:$S_2 = R \cdot \phi_2 = R \pi = 0,1 \text{ м} \cdot 3,14 \approx 0,314 \text{ м}$.

Стрелка окажется в положении, диаметрально противоположном начальному. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_2|$ равен диаметру окружности:$|\Delta\vec{r}_2| = 2R = 2 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,2 \text{ м}$.

Рисунок, иллюстрирующий движение. Начальное положение — на 12 часов, конечное — на 6 часов. Путь (красная дуга) и перемещение (синий вектор).

Ответ: Путь $S_2 \approx 0,314 \text{ м}$, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_2| = 0,2 \text{ м}$.

$\Delta t_3 = 12 \text{ ч}$

За 12 часов часовая стрелка совершит полный оборот и вернется в исходное положение. Угол поворота $\phi_3 = 2\pi \text{ рад}$ (или $360^\circ$).

Путь $S_3$ равен длине окружности:$S_3 = 2\pi R = 2 \cdot 3,14 \cdot 0,1 \text{ м} \approx 0,628 \text{ м}$.

Так как начальное и конечное положения совпадают, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_3|$ равен нулю:$|\Delta\vec{r}_3| = 0 \text{ м}$.

Рисунок, иллюстрирующий движение. Путь (красная окружность) равен всей длине окружности, а перемещение равно нулю.

Ответ: Путь $S_3 \approx 0,628 \text{ м}$, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_3| = 0 \text{ м}$.

$\Delta t_4 = 24 \text{ ч}$

За 24 часа часовая стрелка совершит два полных оборота и вернется в исходное положение. Угол поворота $\phi_4 = 2 \cdot 2\pi = 4\pi \text{ рад}$ (или $720^\circ$).

Путь $S_4$ равен двум длинам окружности:$S_4 = 2 \cdot (2\pi R) = 4\pi R = 4 \cdot 3,14 \cdot 0,1 \text{ м} \approx 1,256 \text{ м}$.

Так как начальное и конечное положения совпадают, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_4|$ также равен нулю:$|\Delta\vec{r}_4| = 0 \text{ м}$.

Рисунок аналогичен предыдущему случаю. Путь представляет собой две полные окружности, а перемещение равно нулю.

Ответ: Путь $S_4 \approx 1,256 \text{ м}$, модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_4| = 0 \text{ м}$.