Номер 2, страница 22 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Такси совершило рейс по маршруту Минск — Червень — Березино. Изобразите в тетради перемещения такси на участках Минск — Червень ($\Delta \vec{r}_{\text{МЧ}}$), Червень — Березино ($\Delta \vec{r}_{\text{ЧБ}}$) и Минск — Березино ($\Delta \vec{r}_{\text{МБ}}$). Убедитесь, что $\Delta \vec{r}_{\text{МБ}} = \Delta \vec{r}_{\text{МЧ}} + \Delta \vec{r}_{\text{ЧБ}}$. Используя рисунок 38 (с. 20) и числовые данные, приведенные в тексте параграфа, найдите модули этих перемещений. Сравните сумму модулей перемещений $\Delta r_{\text{МЧ}} + \Delta r_{\text{ЧБ}}$ с модулем $\Delta r_{\text{МБ}}$.

1. Изобразите в тетради перемещения такси... Убедитесь, что $\Delta\vec{r}_{МБ} = \Delta\vec{r}_{МЧ} + \Delta\vec{r}_{ЧБ}$

Для графического представления перемещений введем систему координат. Пусть начальная точка маршрута, Минск (М), находится в начале координат. Вектор перемещения на первом участке, $\Delta\vec{r}_{МЧ}$, соединяет начальную точку М с промежуточной точкой Червень (Ч). Вектор перемещения на втором участке, $\Delta\vec{r}_{ЧБ}$, соединяет точку Ч с конечной точкой Березино (Б).

Общее перемещение за весь рейс, $\Delta\vec{r}_{МБ}$, является вектором, соединяющим начальную точку М с конечной точкой Б.

Согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), если векторы откладываются последовательно (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего), то их сумма — это вектор, проведенный из начала первого в конец последнего. В нашем случае векторы $\Delta\vec{r}_{МЧ}$ и $\Delta\vec{r}_{ЧБ}$ складываются именно таким образом, и их сумма равна вектору $\Delta\vec{r}_{МБ}$. Таким образом, графическое построение подтверждает векторное равенство: $\Delta\vec{r}_{МБ} = \Delta\vec{r}_{МЧ} + \Delta\vec{r}_{ЧБ}$.

2. Используя рисунок 38 (с. 20) и числовые данные, приведенные в тексте параграфа, найдите модули этих перемещений. Сравните сумму модулей перемещений $\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ}$ с модулем $\Delta r_{МБ}$

Для расчетов воспользуемся координатами городов, приведенными в учебнике.

Дано:

Координаты точек маршрута (в километрах):
Минск (М): $x_М = 0 \text{ км}$; $y_М = 0 \text{ км}$
Червень (Ч): $x_Ч = 56 \text{ км}$; $y_Ч = -27 \text{ км}$
Березино (Б): $x_Б = 90 \text{ км}$; $y_Б = -10 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:
$x_Ч = 56 \times 10^3 \text{ м}$; $y_Ч = -27 \times 10^3 \text{ м}$
$x_Б = 90 \times 10^3 \text{ м}$; $y_Б = -10 \times 10^3 \text{ м}$

Найти:

$\Delta r_{МЧ}$, $\Delta r_{ЧБ}$, $\Delta r_{МБ}$ — модули перемещений.
Сравнить сумму $\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ}$ с $\Delta r_{МБ}$.

Решение:

Модуль (длина) вектора перемещения между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находится по формуле, основанной на теореме Пифагора: $\Delta r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Найдем модуль перемещения на участке Минск — Червень ($\Delta r_{МЧ}$):
$\Delta r_{МЧ} = \sqrt{(x_Ч - x_М)^2 + (y_Ч - y_М)^2} = \sqrt{(56 - 0)^2 + (-27 - 0)^2} = \sqrt{56^2 + (-27)^2}$
$\Delta r_{МЧ} = \sqrt{3136 + 729} = \sqrt{3865} \approx 62,17$ км.

Найдем модуль перемещения на участке Червень — Березино ($\Delta r_{ЧБ}$):
$\Delta r_{ЧБ} = \sqrt{(x_Б - x_Ч)^2 + (y_Б - y_Ч)^2} = \sqrt{(90 - 56)^2 + (-10 - (-27))^2} = \sqrt{34^2 + 17^2}$
$\Delta r_{ЧБ} = \sqrt{1156 + 289} = \sqrt{1445} \approx 38,01$ км.

Найдем модуль полного перемещения Минск — Березино ($\Delta r_{МБ}$):
$\Delta r_{МБ} = \sqrt{(x_Б - x_М)^2 + (y_Б - y_М)^2} = \sqrt{(90 - 0)^2 + (-10 - 0)^2} = \sqrt{90^2 + (-10)^2}$
$\Delta r_{МБ} = \sqrt{8100 + 100} = \sqrt{8200} \approx 90,55$ км.

Теперь сравним сумму модулей перемещений $\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ}$ с модулем полного перемещения $\Delta r_{МБ}$.

Сумма модулей: $\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ} \approx 62,17 \text{ км} + 38,01 \text{ км} = 100,18$ км.

Модуль полного перемещения: $\Delta r_{МБ} \approx 90,55$ км.

Сравнивая полученные значения, видим, что $100,18 \text{ км} > 90,55 \text{ км}$, следовательно: $\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ} > \Delta r_{МБ}$.

Этот результат иллюстрирует неравенство треугольника: модуль суммы векторов меньше или равен сумме их модулей. Равенство достигается только тогда, когда векторы сонаправлены (движение происходит вдоль одной прямой в одном направлении). В данном случае движение происходит не по прямой, поэтому пройденный путь (сумма модулей перемещений на участках) оказывается больше модуля результирующего перемещения (кратчайшего расстояния между начальной и конечной точками).

Ответ:
Модули перемещений составляют: $\Delta r_{МЧ} \approx 62,2$ км; $\Delta r_{ЧБ} \approx 38,0$ км; $\Delta r_{МБ} \approx 90,6$ км.Сумма модулей перемещений на отдельных участках ($\Delta r_{МЧ} + \Delta r_{ЧБ} \approx 100,2$ км) больше модуля полного перемещения ($\Delta r_{МБ} \approx 90,6$ км).