Номер 5, страница 23 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Строительный кран поднял груз на высоту $h = 12$ м. Одновременно кран передвинулся по горизонтали на расстояние $l = 5$ м. Изобразите вектор $\Delta\vec{r}$, определяющий перемещение груза. Представьте его в виде суммы перемещений груза по вертикали $\Delta\vec{r}_1$ и по горизонтали $\Delta\vec{r}_2$. Найдите проекции перемещения груза $\Delta\vec{r}$ на вертикальную и горизонтальную оси и модуль перемещения.

Дано:

Перемещение груза по вертикали (высота подъема): $h = 12$ м
Перемещение груза по горизонтали: $l = 5$ м

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Проекцию перемещения на горизонтальную ось $\Delta r_x$ - ?
Проекцию перемещения на вертикальную ось $\Delta r_y$ - ?
Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ - ?

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось $OY$ вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально. Начало координат $O$ будет соответствовать начальному положению груза.

Движение груза состоит из двух независимых перемещений: 1. Вертикальное перемещение, которое можно представить вектором $\vec{\Delta r_1}$, направленным вдоль оси $OY$. Его модуль равен высоте подъема: $|\vec{\Delta r_1}| = h = 12$ м. 2. Горизонтальное перемещение, представленное вектором $\vec{\Delta r_2}$, направленным вдоль оси $OX$. Его модуль равен: $|\vec{\Delta r_2}| = l = 5$ м.

Полное перемещение груза $\vec{\Delta r}$ является векторной суммой этих двух перемещений: $\vec{\Delta r} = \vec{\Delta r_1} + \vec{\Delta r_2}$

Графически эти три вектора образуют прямоугольный треугольник. Векторы $\vec{\Delta r_1}$ и $\vec{\Delta r_2}$ являются катетами, а вектор полного перемещения $\vec{\Delta r}$ — гипотенузой, соединяющей начальную и конечную точки движения.

Проекции вектора полного перемещения $\vec{\Delta r}$ на оси координат равны модулям составляющих векторов:

• Проекция на горизонтальную ось $OX$: $\Delta r_x = |\vec{\Delta r_2}| = l = 5$ м.
• Проекция на вертикальную ось $OY$: $\Delta r_y = |\vec{\Delta r_1}| = h = 12$ м.

Модуль полного перемещения $|\vec{\Delta r}|$ найдем по теореме Пифагора, так как векторы-компоненты взаимно перпендикулярны: $|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta r_x)^2 + (\Delta r_y)^2} = \sqrt{l^2 + h^2}$

Подставим числовые значения в формулу: $|\vec{\Delta r}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ м.

Ответ: проекция перемещения на горизонтальную ось составляет $5$ м, проекция на вертикальную ось — $12$ м, модуль перемещения равен $13$ м.