Номер 11, страница 41 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

11. Используя интерактивную модель, продемонстрируйте справедливость закона сложения скоростей на примере пловца, переправляющегося на противоположный берег реки.

Для демонстрации справедливости закона сложения скоростей рассмотрим общую задачу о движении пловца в реке. Поскольку использовать интерактивную модель невозможно, мы опишем, как бы проходила демонстрация и какие выводы из нее можно было бы сделать.

Дано:

Движение пловца в реке.
$\\vec{v}_{\\text{пловца, воды}}$ — скорость пловца относительно воды (относительная скорость, $\\vec{v}_{\\text{отн}}$).
$\\vec{v}_{\\text{воды, берега}}$ — скорость течения реки относительно берега (переносная скорость, $\\vec{v}_{\\text{пер}}$).

Найти:

Продемонстрировать справедливость закона сложения скоростей, согласно которому скорость пловца относительно берега (абсолютная скорость, $\\vec{v}_{\\text{абс}}$) равна:
$\\vec{v}_{\\text{абс}} = \\vec{v}_{\\text{пловца, воды}} + \\vec{v}_{\\text{воды, берега}}$

Решение:

Закон сложения скоростей, известный как принцип относительности Галилея, утверждает, что скорость тела в неподвижной системе отсчета (связанной с берегом) равна векторной сумме его скорости в движущейся системе отсчета (связанной с водой) и скорости самой движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Формула закона: $ \\vec{v}_{\\text{абс}} = \\vec{v}_{\\text{отн}} + \\vec{v}_{\\text{пер}} $.

Справедливость этого закона можно продемонстрировать, рассмотрев два характерных случая движения пловца. В интерактивной модели можно было бы задавать векторы $\\vec{v}_{\\text{отн}}$ и $\\vec{v}_{\\text{пер}}$ и наблюдать за результирующим вектором $\\vec{v}_{\\text{абс}}$ и траекторией пловца.

Случай 1: Пловец плывет перпендикулярно течению.

Представим, что в интерактивной модели мы задаем направление скорости пловца относительно воды ($\\vec{v}_{\\text{отн}}$) строго перпендикулярно берегу, а скорость течения ($\\vec{v}_{\\text{пер}}$) — параллельно берегу. Наблюдение покажет, что пловца сносит течением, и его траектория относительно берега представляет собой прямую, направленную по диагонали. Это происходит потому, что движение пловца является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных движений. Его результирующая (абсолютная) скорость $\\vec{v}_{\\text{абс}}$ является векторной суммой $\\vec{v}_{\\text{отн}}$ и $\\vec{v}_{\\text{пер}}$. Модуль этой скорости можно найти по теореме Пифагора: $ v_{\\text{абс}} = \\sqrt{v_{\\text{отн}}^2 + v_{\\text{пер}}^2} $.

Если ширина реки $L$, то время переправы определяется только скоростью, перпендикулярной берегу: $t = L / v_{\\text{отн}}$. За это время пловца снесет вниз по течению на расстояние $s = v_{\\text{пер}} \\cdot t$. Изменяя в модели исходные скорости, мы бы каждый раз убеждались, что наблюдаемая траектория и время соответствуют расчетным, что подтверждает справедливость векторного сложения скоростей.

Случай 2: Пловец хочет попасть в точку строго напротив.

Чтобы пересечь реку по кратчайшему пути (строго перпендикулярно берегу), результирующая скорость пловца $\\vec{v}_{\\text{абс}}$ должна быть направлена перпендикулярно течению. Для этого пловцу необходимо плыть под некоторым углом против течения, чтобы скомпенсировать снос. Вектор его относительной скорости $\\vec{v}_{\\text{отн}}$ должен быть направлен так, чтобы его проекция на направление течения была равна по модулю и противоположна по направлению вектору $\\vec{v}_{\\text{пер}}$. Из векторного равенства $ \\vec{v}_{\\text{абс}} = \\vec{v}_{\\text{отн}} + \\vec{v}_{\\text{пер}} $ следует, что векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, где $v_{\\text{отн}}$ является гипотенузой. Это возможно только при $v_{\\text{отн}} > v_{\\text{пер}}$. Модуль абсолютной скорости пловца в этом случае будет равен: $ v_{\\text{абс}} = \\sqrt{v_{\\text{отн}}^2 - v_{\\text{пер}}^2} $.

В интерактивной модели мы бы увидели, что, направив пловца под правильным углом против течения, он действительно достигает противоположного берега в точке прямо напротив старта. Это наблюдение также подтверждает, что результирующее движение является итогом векторного сложения скоростей.

Ответ: Справедливость закона сложения скоростей $ \\vec{v}_{\\text{абс}} = \\vec{v}_{\\text{отн}} + \\vec{v}_{\\text{пер}} $ на примере пловца, переправляющегося на противоположный берег реки, демонстрируется путем анализа его движения как суперпозиции двух независимых движений: движения пловца относительно воды и движения воды относительно берега. Интерактивная модель позволила бы визуализировать этот принцип. Если пловец плывет перпендикулярно течению, его сносит вниз по реке, и его итоговая траектория соответствует векторной сумме перпендикулярных скоростей. Если пловец хочет переплыть реку по кратчайшему пути (перпендикулярно берегу), ему необходимо плыть под углом против течения, чтобы скомпенсировать снос. Оба этих сценария, которые можно было бы смоделировать, количественно и качественно описываются законом сложения скоростей, что и доказывает его справедливость.