Номер 9, страница 41 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

9. Поперек реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку, плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды $v_1 = 0,50 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Под каким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца $\vec{v_2}$ относительно воды, если ее модуль $v_2 = 1,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$? Чему равен модуль скорости движения пловца относительно берега? Сколько времени займет переправа при ширине реки $l = 98 \text{ м}$?

Дано:

Модуль скорости течения воды: $v_1 = 0,50 \, \text{м/с}$
Модуль скорости пловца относительно воды: $v_2 = 1,0 \, \text{м/с}$
Ширина реки: $l = 98 \, \text{м}$

Все величины представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\alpha$ — угол между скоростью пловца относительно воды и тросом.
$v$ — модуль скорости пловца относительно берега.
$t$ — время переправы.

Решение:

Скорость пловца относительно берега ($\vec{v}$) является векторной суммой его скорости относительно воды ($\vec{v}_2$) и скорости течения воды ($\vec{v}_1$): $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.

По условию, трос натянут поперек реки, а пловец должен плыть параллельно тросу. Это значит, что результирующая скорость пловца $\vec{v}$ (скорость относительно берега) направлена перпендикулярно берегу, то есть перпендикулярно вектору скорости течения $\vec{v}_1$. Таким образом, векторы скоростей $\vec{v}_1$ (скорость течения), $\vec{v}$ (скорость относительно берега) и $\vec{v}_2$ (скорость относительно воды) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $\vec{v}_1$ и $\vec{v}$ являются катетами, а $\vec{v}_2$ — гипотенузой.

Под каким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца $\vec{v}_2$ относительно воды, если ее модуль $v_2 = 1,0 \frac{м}{с}$?

Угол $\alpha$ — это угол между вектором скорости пловца относительно воды $\vec{v}_2$ (гипотенуза) и вектором его скорости относительно берега $\vec{v}$ (катет, направленный вдоль троса). В прямоугольном треугольнике скоростей синус этого угла равен отношению противолежащего катета $v_1$ к гипотенузе $v_2$: $\sin \alpha = \frac{v_1}{v_2}$.

Подставляя числовые значения, получаем: $\sin \alpha = \frac{0,50}{1,0} = 0,5$.

Отсюда находим угол: $\alpha = \arcsin(0,5) = 30^\circ$.

Ответ: Скорость пловца относительно воды должна быть направлена под углом $30^\circ$ к тросу (против течения).

Чему равен модуль скорости движения пловца относительно берега?

Модуль скорости пловца относительно берега ($v$) — это длина катета, прилежащего к углу $\alpha$. Его можно найти по теореме Пифагора: $v_2^2 = v_1^2 + v^2$.

Выразим $v$: $v = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}$.

Подставим числовые значения: $v = \sqrt{(1,0)^2 - (0,50)^2} = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} \, \text{м/с}$.

Вычислим и округлим результат с учетом двух значащих цифр в исходных данных: $v \approx 0,87 \, \text{м/с}$.

Ответ: Модуль скорости движения пловца относительно берега равен примерно $0,87 \, \text{м/с}$.

Сколько времени займет переправа при ширине реки $l = 98$ м?

Время переправы ($t$) равно отношению ширины реки ($l$) к скорости движения в этом направлении ($v$): $t = \frac{l}{v}$.

Подставим значения, используя точное значение для скорости $v$: $t = \frac{98}{\sqrt{0,75}} \approx \frac{98}{0,866} \approx 113,16 \, \text{с}$.

Округлим результат до двух значащих цифр: $t \approx 110 \, \text{с}$.

Ответ: Переправа займет примерно $110$ с.