Номер 1025, страница 189 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество стальных жил, $n_1 = 2,0$

Площадь поперечного сечения одной стальной жилы, $S_1 = 0,60 \text{ мм}^2$

Количество медных жил, $n_2 = 4,0$

Площадь поперечного сечения одной медной жилы, $S_2 = 0,85 \text{ мм}^2$

Длина кабеля, $L = 1,0 \text{ км}$

Сила тока в кабеле, $I = 0,10 \text{ А}$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 0,60 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_2 = 0,85 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$L = 1000 \text{ м}$

Найти:

Разность потенциалов, $U$

Решение:

Для решения задачи потребуются справочные значения удельного сопротивления стали ($\rho_1$) и меди ($\rho_2$). Примем удельное сопротивление стали $\rho_1 = 1,2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ и удельное сопротивление меди $\rho_2 = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Кабель состоит из стальных и медных жил, которые соединены параллельно, так как ток течет по всем жилам одновременно. Следовательно, разность потенциалов на концах всех жил одинакова и равна искомой разности потенциалов $U$.

Общее сопротивление кабеля $R_{общ}$ можно найти, рассмотрев его как параллельное соединение двух групп проводников: стальных жил и медных жил.

Сначала найдем общее сопротивление группы стальных жил. Так как $n_1$ стальных жил соединены параллельно, их общее сопротивление $R_{сталь}$ равно сопротивлению одной жилы, деленному на их количество:

$R_{сталь} = \frac{\rho_1 L}{n_1 S_1}$

Подставим числовые значения:

$R_{сталь} = \frac{1,2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 1000 \text{ м}}{2 \cdot 0,60 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{1,2 \cdot 10^{-4}}{1,2 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = 100 \text{ Ом}$

Аналогично найдем общее сопротивление группы медных жил $R_{медь}$:

$R_{медь} = \frac{\rho_2 L}{n_2 S_2}$

Подставим числовые значения:

$R_{медь} = \frac{1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 1000 \text{ м}}{4 \cdot 0,85 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{1,7 \cdot 10^{-5}}{3,4 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = 5 \text{ Ом}$

Группы стальных и медных жил соединены между собой параллельно. Общее сопротивление всего кабеля $R_{общ}$ вычисляется по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{сталь}} + \frac{1}{R_{медь}}$

$R_{общ} = \frac{R_{сталь} \cdot R_{медь}}{R_{сталь} + R_{медь}} = \frac{100 \text{ Ом} \cdot 5 \text{ Ом}}{100 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом}} = \frac{500}{105} \text{ Ом} \approx 4,76 \text{ Ом}$

Теперь, используя закон Ома для всего кабеля, найдем разность потенциалов $U$ на его концах:

$U = I \cdot R_{общ}$

$U = 0,10 \text{ А} \cdot \frac{500}{105} \text{ Ом} = \frac{50}{105} \text{ В} = \frac{10}{21} \text{ В} \approx 0,476 \text{ В}$

С учетом точности исходных данных (два значащих разряда), округляем результат.

Ответ: $U \approx 0,48 \text{ В}$.