Номер 1026, страница 189 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Общее сопротивление проволоки $R = 32 \text{ Ом}$

Общее сопротивление получившегося участка цепи $R' = 6,0 \text{ Ом}$

Найти:

$R_1$ — ?, $R_2$ — ?

Решение:

Когда из проволоки делают кольцо и подключают к нему провода в точках a и b, ток разделяется на два пути. Это означает, что верхняя часть кольца с сопротивлением $R_1$ и нижняя часть с сопротивлением $R_2$ соединены параллельно.

Так как обе части кольца сделаны из одной и той же проволоки, сумма их сопротивлений равна общему сопротивлению исходной проволоки:

$R_1 + R_2 = R = 32 \text{ Ом}$ (1)

Общее сопротивление $R'$ для параллельного соединения двух проводников вычисляется по формуле:

$R' = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$ (2)

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $R_1$ и $R_2$. Подставим известные значения в эту систему.

Из уравнения (1) мы знаем, что $R_1 + R_2 = 32 \text{ Ом}$. Подставим это значение в знаменатель уравнения (2), а также известное значение $R'$:

$6 = \frac{R_1 \cdot R_2}{32}$

Отсюда находим произведение сопротивлений:

$R_1 \cdot R_2 = 6 \cdot 32 = 192$ (3)

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$R_1 + R_2 = 32$

$R_1 \cdot R_2 = 192$

Эта система решается по теореме Виета. $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 32x + 192 = 0$.

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{32 \pm 16}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Эти корни и есть искомые сопротивления $R_1$ и $R_2$. Таким образом, сопротивление одной части кольца равно 24 Ом, а другой — 8 Ом.

Ответ: Сопротивления верхней и нижней частей кольца равны $R_1 = 24 \text{ Ом}$ и $R_2 = 8 \text{ Ом}$ (или наоборот).