Номер 1030, страница 190 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина проводников: $l_1 = l_2 = l_3 = l$
Материал проводников (удельное сопротивление): $\rho_1 = \rho_2 = \rho_3 = \rho$
Площадь поперечного сечения первого проводника: $S_1 = 3,0 \text{ мм}^2$
Площадь поперечного сечения второго проводника: $S_2 = 2,0 \text{ мм}^2$
Площадь поперечного сечения третьего проводника: $S_3 = 4,0 \text{ мм}^2$
Общее напряжение на участке цепи: $U = 12 \text{ В}$
Сила тока в первом проводнике: $I_1 = 1,0 \text{ А}$
Схема соединения: проводник 1 соединен последовательно с параллельно соединенными проводниками 2 и 3.

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$S_2 = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$S_3 = 4,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

$R_1, R_2, R_3$ - сопротивления проводников.
$I_2, I_3$ - силы токов во втором и третьем проводниках.
$U_1, U_2, U_3$ - напряжения на каждом проводнике.

Решение:

Определите сопротивления $R_1, R_2, R_3$ каждого проводника

Сопротивление проводника определяется по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала, $l$ - длина проводника, $S$ - площадь поперечного сечения. Поскольку все три проводника изготовлены из одного материала и имеют одинаковую длину, величина $\rho \cdot l$ для них является постоянной. Обозначим ее как $k = \rho \cdot l$. Тогда сопротивления проводников обратно пропорциональны площадям их поперечных сечений: $R_1 = \frac{k}{S_1}$, $R_2 = \frac{k}{S_2}$, $R_3 = \frac{k}{S_3}$.

Выразим сопротивления $R_2$ и $R_3$ через $R_1$:
Из $R_1 S_1 = k$ и $R_2 S_2 = k$ следует, что $R_2 S_2 = R_1 S_1$, откуда $R_2 = R_1 \frac{S_1}{S_2}$.
$R_2 = R_1 \frac{3,0 \text{ мм}^2}{2,0 \text{ мм}^2} = 1,5 R_1$.
Аналогично для $R_3$: $R_3 = R_1 \frac{S_1}{S_3} = R_1 \frac{3,0 \text{ мм}^2}{4,0 \text{ мм}^2} = 0,75 R_1$.

Проводник 1 соединен последовательно с участком цепи, состоящим из параллельно соединенных проводников 2 и 3. Общее сопротивление цепи $R_{общ}$ можно найти по закону Ома для всей цепи: $R_{общ} = \frac{U}{I_1}$. $R_{общ} = \frac{12 \text{ В}}{1,0 \text{ А}} = 12 \text{ Ом}$.

С другой стороны, общее сопротивление цепи равно сумме сопротивления первого проводника и эквивалентного сопротивления параллельного участка $R_{23}$: $R_{общ} = R_1 + R_{23}$.
Эквивалентное сопротивление для параллельно соединенных $R_2$ и $R_3$ вычисляется по формуле: $R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$.
Подставим выражения для $R_2$ и $R_3$ через $R_1$:
$R_{23} = \frac{(1,5 R_1)(0,75 R_1)}{1,5 R_1 + 0,75 R_1} = \frac{1,125 R_1^2}{2,25 R_1} = 0,5 R_1$.

Теперь найдем $R_1$, подставив $R_{23}$ в формулу для общего сопротивления: $R_{общ} = R_1 + 0,5 R_1 = 1,5 R_1$.
$12 \text{ Ом} = 1,5 R_1$, откуда $R_1 = \frac{12 \text{ Ом}}{1,5} = 8 \text{ Ом}$.

Зная $R_1$, находим $R_2$ и $R_3$:
$R_2 = 1,5 R_1 = 1,5 \cdot 8 \text{ Ом} = 12 \text{ Ом}$.
$R_3 = 0,75 R_1 = 0,75 \cdot 8 \text{ Ом} = 6 \text{ Ом}$.

Ответ: $R_1 = 8 \text{ Ом}$, $R_2 = 12 \text{ Ом}$, $R_3 = 6 \text{ Ом}$.

Определите напряжения $U_1, U_2, U_3$ на каждом проводнике

Напряжение на первом проводнике $U_1$ найдем по закону Ома: $U_1 = I_1 \cdot R_1 = 1,0 \text{ А} \cdot 8 \text{ Ом} = 8 \text{ В}$.

При последовательном соединении общее напряжение равно сумме напряжений на участках цепи: $U = U_1 + U_{23}$, где $U_{23}$ - напряжение на параллельном участке. $U_{23} = U - U_1 = 12 \text{ В} - 8 \text{ В} = 4 \text{ В}$.

При параллельном соединении напряжение на проводниках одинаково, поэтому: $U_2 = U_3 = U_{23} = 4 \text{ В}$.

Ответ: $U_1 = 8 \text{ В}$, $U_2 = 4 \text{ В}$, $U_3 = 4 \text{ В}$.

Определите силы токов $I_2$ и $I_3$, проходящих через отдельные проводники

Силы токов $I_2$ и $I_3$ найдем по закону Ома для участков цепи 2 и 3: $I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{4 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = \frac{1}{3} \text{ А} \approx 0,33 \text{ А}$.
$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{4 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = \frac{2}{3} \text{ А} \approx 0,67 \text{ А}$.

Проверим: по первому правилу Кирхгофа для узла, где ток $I_1$ разветвляется на $I_2$ и $I_3$, должно выполняться равенство $I_1 = I_2 + I_3$. $I_2 + I_3 = \frac{1}{3} \text{ А} + \frac{2}{3} \text{ А} = 1 \text{ А}$. Это значение совпадает с данным в условии $I_1 = 1,0 \text{ А}$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: $I_2 \approx 0,33 \text{ А}$, $I_3 \approx 0,67 \text{ А}$.