Номер 1035, страница 191 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S_1 = 1,0 \text{ мм}^2 = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_2 = 2,0 \text{ мм}^2 = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_3 = 3,0 \text{ мм}^2 = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_4 = 4,0 \text{ мм}^2 = 4,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$U = 0,10 \text{ кВ} = 100 \text{ В}$

$L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = L$

$\rho_1 = \rho_2 = \rho_3 = \rho_4 = \rho$

Найти:

$U_1, U_2, U_3, U_4$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $L$ – длина проводника, $S$ – площадь поперечного сечения.

Так как все четыре проводника изготовлены из одного материала и имеют одинаковую длину, их сопротивления $R_1, R_2, R_3, R_4$ будут обратно пропорциональны площадям их поперечных сечений $S_1, S_2, S_3, S_4$:

$R_1 = \rho \frac{L}{S_1}$, $R_2 = \rho \frac{L}{S_2}$, $R_3 = \rho \frac{L}{S_3}$, $R_4 = \rho \frac{L}{S_4}$.

Проводники соединены последовательно, поэтому сила тока $I$ во всех проводниках одинакова, а общее сопротивление цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

$R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4$

Сила тока в цепи по закону Ома: $I = \frac{U}{R_{общ}}$.

Напряжение на каждом проводнике также находится по закону Ома: $U_i = I \cdot R_i$.

Подставив выражение для тока, получим формулу для распределения напряжений:

$U_i = \frac{U}{R_{общ}} R_i = U \frac{R_i}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$.

Выразим сопротивления через площади сечения:

$U_i = U \frac{\rho \frac{L}{S_i}}{\rho \frac{L}{S_1} + \rho \frac{L}{S_2} + \rho \frac{L}{S_3} + \rho \frac{L}{S_4}}$

Сократив общий множитель $\rho L$, получим:

$U_i = U \frac{\frac{1}{S_i}}{\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} + \frac{1}{S_4}}$

Для удобства расчетов можно использовать значения площадей в мм², так как единицы измерения сократятся в соотношении.

Найдем сумму обратных величин площадей:

$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} + \frac{1}{S_4} = \frac{1}{1,0} + \frac{1}{2,0} + \frac{1}{3,0} + \frac{1}{4,0} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12} \text{ мм}^{-2}$.

Теперь рассчитаем напряжение на каждом проводнике:

$U_1 = U \frac{\frac{1}{S_1}}{\sum \frac{1}{S_i}} = 100 \text{ В} \cdot \frac{1}{25/12} = 100 \cdot \frac{12}{25} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ В}$.

$U_2 = U \frac{\frac{1}{S_2}}{\sum \frac{1}{S_i}} = 100 \text{ В} \cdot \frac{1/2}{25/12} = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{25} = 100 \cdot \frac{6}{25} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ В}$.

$U_3 = U \frac{\frac{1}{S_3}}{\sum \frac{1}{S_i}} = 100 \text{ В} \cdot \frac{1/3}{25/12} = 100 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{25} = 100 \cdot \frac{4}{25} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ В}$.

$U_4 = U \frac{\frac{1}{S_4}}{\sum \frac{1}{S_i}} = 100 \text{ В} \cdot \frac{1/4}{25/12} = 100 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{25} = 100 \cdot \frac{3}{25} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ В}$.

Проверка: $U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 48 \text{ В} + 24 \text{ В} + 16 \text{ В} + 12 \text{ В} = 100 \text{ В}$. Сумма напряжений равна общему напряжению источника.

Ответ: $U_1 = 48 \text{ В}$, $U_2 = 24 \text{ В}$, $U_3 = 16 \text{ В}$, $U_4 = 12 \text{ В}$.