Номер 1042, страница 192 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$R_1 = 5,0$ Ом

$R_2 = 10$ Ом

$U_0 = 0,16$ кВ

Перевод в систему СИ:

$U_0 = 0,16 \cdot 10^3$ В = $160$ В

Найти:

$U$

Решение

Данная электрическая цепь представляет собой лестничную схему (также известную как цепная схема или многозвенный фильтр). Для решения задачи будем последовательно рассчитывать эквивалентное сопротивление участков цепи, двигаясь от конца (справа) к началу (слева), а затем, зная напряжения, будем находить искомое напряжение $U$ с помощью закона Ома и правил для делителя напряжения.

Обозначим узлы на верхней линии (слева направо): $N_0$ (вход), $N_1$, $N_2$ и $A$. Нижняя линия — общая, точка $B$. Напряжение $U_0$ приложено между узлом $N_0$ и точкой $B$. Искомое напряжение $U$ — это напряжение между точками $A$ и $B$, то есть напряжение на крайнем правом резисторе $R_2$. Обозначим напряжения в узлах относительно точки B как $U_0, U_1, U_2, U_A$. По условию, $U_A=U$.

1. Найдем эквивалентное сопротивление участка цепи справа от узла $N_2$. Этот участок состоит из резистора $R_2$, подключенного к узлу $N_2$, параллельно которому подключена цепь из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$ (крайний правый). Обозначим это сопротивление $R_{экв2}$.

$R_{экв2} = \frac{R_2 \cdot (R_1 + R_2)}{R_2 + (R_1 + R_2)} = \frac{R_2 (R_1 + R_2)}{R_1 + 2R_2}$

Подставим числовые значения:

$R_{экв2} = \frac{10 \cdot (5,0 + 10)}{5,0 + 2 \cdot 10} = \frac{10 \cdot 15}{25} = \frac{150}{25} = 6,0$ Ом.

2. Теперь найдем эквивалентное сопротивление участка цепи справа от узла $N_1$. Этот участок состоит из резистора $R_2$, подключенного к узлу $N_1$, параллельно которому подключена цепь из резистора $R_1$ и эквивалентного сопротивления $R_{экв2}$, соединенных последовательно. Обозначим это сопротивление $R_{экв1}$.

$R_{экв1} = \frac{R_2 \cdot (R_1 + R_{экв2})}{R_2 + (R_1 + R_{экв2})} = \frac{R_2 (R_1 + R_{экв2})}{R_1 + R_2 + R_{экв2}}$

Подставим числовые значения:

$R_{экв1} = \frac{10 \cdot (5,0 + 6,0)}{5,0 + 10 + 6,0} = \frac{10 \cdot 11}{21} = \frac{110}{21}$ Ом.

3. Теперь будем последовательно находить напряжения в узлах, двигаясь слева направо. Напряжение $U_1$ в узле $N_1$ можно найти, рассмотрев делитель напряжения, образованный резистором $R_1$ (между $N_0$ и $N_1$) и эквивалентным сопротивлением $R_{экв1}$.

$U_1 = U_0 \cdot \frac{R_{экв1}}{R_1 + R_{экв1}} = 160 \cdot \frac{\frac{110}{21}}{5,0 + \frac{110}{21}} = 160 \cdot \frac{\frac{110}{21}}{\frac{105+110}{21}} = 160 \cdot \frac{110}{215} = 160 \cdot \frac{22}{43} = \frac{3520}{43}$ В.

4. Аналогично, напряжение $U_2$ в узле $N_2$ найдем из делителя напряжения, образованного резистором $R_1$ (между $N_1$ и $N_2$) и сопротивлением $R_{экв2}$, к которому приложено напряжение $U_1$.

$U_2 = U_1 \cdot \frac{R_{экв2}}{R_1 + R_{экв2}} = \frac{3520}{43} \cdot \frac{6,0}{5,0 + 6,0} = \frac{3520}{43} \cdot \frac{6}{11} = \frac{320 \cdot 6}{43} = \frac{1920}{43}$ В.

5. Наконец, искомое напряжение $U$ (напряжение в точке A) найдем из делителя напряжения, образованного последним резистором $R_1$ (между $N_2$ и $A$) и последним резистором $R_2$, к которому приложено напряжение $U_2$.

$U = U_A = U_2 \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1920}{43} \cdot \frac{10}{5,0 + 10} = \frac{1920}{43} \cdot \frac{10}{15} = \frac{1920}{43} \cdot \frac{2}{3} = \frac{640 \cdot 2}{43} = \frac{1280}{43}$ В.

Вычислим числовое значение:

$U \approx 29,767$ В.

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$U \approx 30$ В.

Ответ: $U \approx 30$ В.