Номер 1045, страница 193 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 75,0 \text{ Ом}$
$R_2 = 150 \text{ Ом}$
$R_3 = 225 \text{ Ом}$
$R_4 = 300 \text{ Ом}$
$U_2 = 24,0 \text{ В}$

Найти:

$I_4 - ?$
$I_5 - ?$

Решение:

Представленная на рисунке схема является мостовой схемой (мост Уитстона). По условию задачи, все измерительные приборы являются идеальными. Это означает, что внутреннее сопротивление амперметров пренебрежимо мало (равно нулю, $R_A = 0$), а внутреннее сопротивление вольтметров бесконечно велико ($R_V = \infty$).

Вольтметр $V_2$ подключен к диагонали моста. Так как сопротивление идеального вольтметра бесконечно, ток через эту диагональ не течет. Следовательно, цепь можно рассматривать как две параллельно соединенные ветви, подключенные к источнику напряжения $U$.

Первая (верхняя) ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Ее общее сопротивление равно:
$R_{12} = R_1 + R_2 = 75,0 \text{ Ом} + 150 \text{ Ом} = 225 \text{ Ом}$

Вторая (нижняя) ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_4$ и $R_3$. Ее общее сопротивление равно:
$R_{43} = R_4 + R_3 = 300 \text{ Ом} + 225 \text{ Ом} = 525 \text{ Ом}$

Вольтметр $V_2$ измеряет разность потенциалов $U_2$ между узлом, соединяющим резисторы $R_1$ и $R_2$, и узлом, соединяющим $R_4$ и $R_3$. Выразим эту разность через общее напряжение источника $U$. Примем потенциал правого (выходного) узла схемы равным нулю, тогда потенциал левого (входного) узла равен $U$.
Потенциал узла между $R_1$ и $R_2$ (равный напряжению на резисторе $R_2$ относительно выходного узла) составляет:
$\phi_{12} = \frac{U}{R_1 + R_2} \cdot R_2$
Потенциал узла между $R_4$ и $R_3$ (равный напряжению на резисторе $R_3$ относительно выходного узла) составляет:
$\phi_{43} = \frac{U}{R_4 + R_3} \cdot R_3$

Тогда показание вольтметра $V_2$ равно модулю разности этих потенциалов:
$U_2 = |\phi_{12} - \phi_{43}| = U \cdot |\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_3}{R_4 + R_3}|$
Подставим числовые значения:
$24,0 \text{ В} = U \cdot |\frac{150}{75,0 + 150} - \frac{225}{300 + 225}| = U \cdot |\frac{150}{225} - \frac{225}{525}| = U \cdot |\frac{2}{3} - \frac{3}{7}|$
$24,0 \text{ В} = U \cdot |\frac{14 - 9}{21}| = U \cdot \frac{5}{21}$

Из этого уравнения находим напряжение источника $U$:
$U = \frac{24,0 \text{ В} \cdot 21}{5} = 100,8 \text{ В}$

Теперь можно рассчитать искомые силы токов.
Амперметр $A_4$ измеряет ток в нижней ветви цепи. Этот ток равен:
$I_4 = \frac{U}{R_4 + R_3} = \frac{100,8 \text{ В}}{525 \text{ Ом}} = 0,192 \text{ А}$

Амперметр $A_5$ измеряет общий ток в цепи, который является суммой токов в двух параллельных ветвях. Сначала найдем ток в верхней ветви:
$I_{12} = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{100,8 \text{ В}}{225 \text{ Ом}} = 0,448 \text{ А}$
Теперь найдем общий ток $I_5$:
$I_5 = I_{12} + I_4 = 0,448 \text{ А} + 0,192 \text{ А} = 0,640 \text{ А}$

Ответ: $I_4 = 0,192 \text{ А}$; $I_5 = 0,640 \text{ А}$.