Номер 1046, страница 193 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Бесконечная электрическая цепь, состоящая из одинаковых ячеек.

Сопротивление одного резистора $R = 1,0 \text{ Ом}$.

Найти:

Общее сопротивление цепи $R_{общ}$.

Решение:

Поскольку цепь является бесконечной, ее общее сопротивление не изменится, если мы добавим к ней еще одну ячейку. Обозначим искомое общее сопротивление цепи как $R_{общ}$.

Рассмотрим всю цепь как одну ячейку, к которой справа подключена оставшаяся бесконечная часть цепи. Сопротивление этой оставшейся части также равно $R_{общ}$.

Таким образом, мы можем представить схему следующим образом: два резистора (верхний и нижний) с сопротивлением $R$ соединены последовательно с участком, который состоит из среднего (вертикального) резистора $R$, соединенного параллельно с остальной частью цепи (сопротивление которой $R_{общ}$).

Найдем сопротивление $R_p$ параллельного участка:

$R_p = \frac{R \cdot R_{общ}}{R + R_{общ}}$

Общее сопротивление всей цепи будет равно сумме сопротивлений двух последовательных резисторов $R$ и сопротивления параллельного участка $R_p$. И эта сумма должна быть равна $R_{общ}$:

$R_{общ} = R + R + R_p$

$R_{общ} = 2R + \frac{R \cdot R_{общ}}{R + R_{общ}}$

Теперь решим это уравнение относительно $R_{общ}$. Умножим обе части на $(R + R_{общ})$:

$R_{общ}(R + R_{общ}) = 2R(R + R_{общ}) + R \cdot R_{общ}$

Раскроем скобки:

$R \cdot R_{общ} + R_{общ}^2 = 2R^2 + 2R \cdot R_{общ} + R \cdot R_{общ}$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$R_{общ}^2 + R \cdot R_{общ} - 3R \cdot R_{общ} - 2R^2 = 0$

$R_{общ}^2 - 2R \cdot R_{общ} - 2R^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $R_{общ}$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $x=R_{общ}$, $a=1$, $b=-2R$, $c=-2R^2$:

$R_{общ} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$R_{общ} = \frac{-(-2R) \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2(1)}$

$R_{общ} = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$

$R_{общ} = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$

$R_{общ} = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$

$R_{общ} = R(1 \pm \sqrt{3})$

Поскольку сопротивление не может быть отрицательной величиной, а $1 - \sqrt{3} < 0$, мы выбираем корень со знаком плюс:

$R_{общ} = R(1 + \sqrt{3})$

Подставим числовое значение $R = 1,0 \text{ Ом}$:

$R_{общ} = 1,0 \cdot (1 + \sqrt{3}) \approx 1,0 \cdot (1 + 1,732) \approx 2,732 \text{ Ом}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $2,7 \text{ Ом}$.

Ответ: Общее сопротивление цепи равно $R_{общ} = (1 + \sqrt{3}) \text{ Ом} \approx 2,7 \text{ Ом}$.