Номер 1053, страница 194 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 16$ Ом

$I_1 = 1.0$ А

$R_2 = 8.0$ Ом

$I_2 = 1.8$ А

Найти:

$ε$ — ?, $r$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи, который имеет вид:

$I = \frac{ε}{R + r}$

где $I$ — сила тока в цепи, $ε$ — ЭДС источника, $R$ — сопротивление внешней цепи (резистора), $r$ — внутреннее сопротивление источника.

Запишем этот закон для двух случаев, описанных в условии задачи:

1. При подключении резистора $R_1$:

$I_1 = \frac{ε}{R_1 + r}$ (1)

2. При подключении резистора $R_2$:

$I_2 = \frac{ε}{R_2 + r}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ε$ и $r$.

Выразим ЭДС $ε$ из каждого уравнения:

Из уравнения (1): $ε = I_1 \cdot (R_1 + r)$

Из уравнения (2): $ε = I_2 \cdot (R_2 + r)$

Поскольку ЭДС батареи в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$I_1 \cdot (R_1 + r) = I_2 \cdot (R_2 + r)$

Теперь решим это уравнение относительно внутреннего сопротивления $r$. Раскроем скобки:

$I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $r$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$I_1 R_1 - I_2 R_2 = I_2 r - I_1 r$

$I_1 R_1 - I_2 R_2 = r (I_2 - I_1)$

Отсюда выразим $r$:

$r = \frac{I_1 R_1 - I_2 R_2}{I_2 - I_1}$

Подставим числовые значения из условия:

$r = \frac{1.0 \cdot 16 - 1.8 \cdot 8.0}{1.8 - 1.0} = \frac{16 - 14.4}{0.8} = \frac{1.6}{0.8} = 2.0$ Ом

Теперь, зная внутреннее сопротивление $r$, найдем ЭДС $ε$, подставив значение $r$ в любое из выражений для $ε$. Воспользуемся первым:

$ε = I_1 \cdot (R_1 + r) = 1.0 \cdot (16 + 2.0) = 1.0 \cdot 18 = 18$ В

Для проверки можно подставить $r$ во второе выражение:

$ε = I_2 \cdot (R_2 + r) = 1.8 \cdot (8.0 + 2.0) = 1.8 \cdot 10 = 18$ В

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: ЭДС батареи $ε = 18$ В, внутреннее сопротивление $r = 2.0$ Ом.