Номер 1059, страница 195 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$r$ - внутреннее сопротивление аккумулятора
$R$ - сопротивление резистора
$R_B$ - сопротивление вольтметра
$U_1$ - показание вольтметра при последовательном соединении с резистором
$U_2$ - показание вольтметра при параллельном соединении с резистором
$U_1 = U_2$

Найти:

$R_B$

Решение:

Рассмотрим оба случая подключения вольтметра. Обозначим ЭДС аккумулятора как $\mathcal{E}$.

1. Вольтметр соединен последовательно с резистором.
В этом случае общее внешнее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений резистора и вольтметра: $R_{внеш1} = R + R_B$.
Полное сопротивление цепи: $R_{полн1} = R_{внеш1} + r = R + R_B + r$.
Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи: $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{полн1}} = \frac{\mathcal{E}}{R + R_B + r}$.
Вольтметр показывает напряжение на своих клеммах, которое равно: $U_1 = I_1 \cdot R_B = \frac{\mathcal{E} R_B}{R + R_B + r}$.

2. Вольтметр соединен параллельно с резистором.
В этом случае общее сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно соединенных резистора и вольтметра, равно: $R_{внеш2} = \frac{R \cdot R_B}{R + R_B}$.
Полное сопротивление цепи: $R_{полн2} = R_{внеш2} + r = \frac{R R_B}{R + R_B} + r$.
Сила тока, текущего от источника: $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{полн2}} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R R_B}{R + R_B} + r}$.
Вольтметр показывает напряжение на параллельном участке, которое равно: $U_2 = I_2 \cdot R_{внеш2} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R R_B}{R + R_B} + r} \cdot \frac{R R_B}{R + R_B} = \frac{\mathcal{E} R R_B}{R R_B + r(R + R_B)}$.

По условию задачи, показания вольтметра в обоих случаях одинаковы: $U_1 = U_2$.
Приравняем полученные выражения для напряжений: $\frac{\mathcal{E} R_B}{R + R_B + r} = \frac{\mathcal{E} R R_B}{R R_B + r(R + R_B)}$.
Сократим обе части на $\mathcal{E} R_B$ (поскольку $\mathcal{E} \neq 0$ и сопротивление вольтметра $R_B \neq 0$): $\frac{1}{R + R_B + r} = \frac{R}{R R_B + rR + rR_B}$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $1 \cdot (R R_B + rR + rR_B) = R \cdot (R + R_B + r)$.
$R R_B + rR + rR_B = R^2 + R R_B + Rr$.
Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения ($R R_B$ и $rR$): $rR_B = R^2$.
Отсюда выразим искомое сопротивление вольтметра $R_B$: $R_B = \frac{R^2}{r}$.

Ответ: $R_B = \frac{R^2}{r}$.