Номер 1060, страница 195 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U_1$ - показание первого вольтметра при последовательном соединении.

$U_2$ - показание второго вольтметра при последовательном соединении.

$U'_1$ - показание первого вольтметра при одиночном подключении.

Найти:

$\mathscr{E}$ - ЭДС источника тока.

Решение:

Обозначим внутренние сопротивления вольтметров как $R_1$ и $R_2$ соответственно, а внутреннее сопротивление источника тока как $r$.

1. Рассмотрим первый случай, когда два вольтметра соединены последовательно и подключены к источнику.

Общее внешнее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений вольтметров: $R_{ext} = R_1 + R_2$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна: $I = \frac{\mathscr{E}}{R_1 + R_2 + r}$

Напряжения на вольтметрах, согласно закону Ома для участка цепи, равны: $U_1 = I \cdot R_1$ (1) $U_2 = I \cdot R_2$ (2)

Разделив уравнение (1) на (2), получим отношение сопротивлений вольтметров: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{I \cdot R_1}{I \cdot R_2} = \frac{R_1}{R_2}$, откуда $R_2 = R_1 \frac{U_2}{U_1}$ (3)

Напряжение на клеммах источника равно сумме напряжений на последовательно соединенных вольтметрах, $U = U_1 + U_2$, и в то же время оно равно $U = \mathscr{E} - I \cdot r$. Следовательно: $U_1 + U_2 = \frac{\mathscr{E}}{R_1 + R_2 + r} (R_1 + R_2)$

Выразим из этого уравнения внутреннее сопротивление $r$: $(U_1 + U_2)(R_1 + R_2 + r) = \mathscr{E}(R_1 + R_2)$ $(U_1 + U_2)r = (\mathscr{E} - (U_1 + U_2))(R_1 + R_2)$ $r = (R_1 + R_2) \frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1 + U_2}$ (4)

2. Рассмотрим второй случай, когда к источнику подключен только первый вольтметр.

Внешнее сопротивление цепи теперь равно $R'_{ext} = R_1$. Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи: $I' = \frac{\mathscr{E}}{R_1 + r}$

Показание вольтметра $U'_1$ равно напряжению на его клеммах: $U'_1 = I' \cdot R_1 = \frac{\mathscr{E} R_1}{R_1 + r}$

Выразим из этого уравнения внутреннее сопротивление $r$: $U'_1(R_1 + r) = \mathscr{E} R_1$ $U'_1 r = \mathscr{E} R_1 - U'_1 R_1$ $r = R_1 \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$ (5)

3. Теперь у нас есть два выражения для внутреннего сопротивления $r$ (уравнения (4) и (5)). Приравняем их, чтобы исключить неизвестные сопротивления $R_1$, $R_2$ и $r$, и найти $\mathscr{E}$.

$(R_1 + R_2) \frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1 + U_2} = R_1 \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$

Подставим в это уравнение выражение для $R_2$ из уравнения (3): $(R_1 + R_1 \frac{U_2}{U_1}) \frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1 + U_2} = R_1 \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$

Вынесем $R_1$ за скобки в левой части: $R_1 (1 + \frac{U_2}{U_1}) \frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1 + U_2} = R_1 \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках и сократим на $R_1$ (так как сопротивление вольтметра не равно нулю): $\frac{U_1 + U_2}{U_1} \frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1 + U_2} = \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$

Сократив дробь в левой части на $(U_1 + U_2)$, получим: $\frac{\mathscr{E} - (U_1 + U_2)}{U_1} = \frac{\mathscr{E} - U'_1}{U'_1}$

Решим это уравнение относительно $\mathscr{E}$, используя свойство пропорции: $U'_1 (\mathscr{E} - U_1 - U_2) = U_1 (\mathscr{E} - U'_1)$ $U'_1 \mathscr{E} - U'_1 U_1 - U'_1 U_2 = U_1 \mathscr{E} - U_1 U'_1$

Члены $-U'_1 U_1$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются: $U'_1 \mathscr{E} - U'_1 U_2 = U_1 \mathscr{E}$

Перенесем члены, содержащие $\mathscr{E}$, в одну сторону: $U'_1 \mathscr{E} - U_1 \mathscr{E} = U'_1 U_2$ $\mathscr{E}(U'_1 - U_1) = U'_1 U_2$

Окончательно получаем выражение для ЭДС источника тока: $\mathscr{E} = \frac{U'_1 U_2}{U'_1 - U_1}$

Ответ: ЭДС источника тока определяется по формуле $\mathscr{E} = \frac{U'_1 U_2}{U'_1 - U_1}$.