Номер 1067, страница 197 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

ЭДС батареи, $\mathcal{E} = 150$ В

Внутреннее сопротивление батареи, $r = 8,0$ Ом

Сопротивление каждой медной шины, $R = 10$ Ом

Сопротивление каждой лампочки, $R_л = 20$ Ом

Лампочка 1 подключена к серединам шин.

Лампочка 2 подключена к концам шин.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тока в первой лампочке, $I_1$.

Решение:

Представим электрическую схему в виде набора дискретных резисторов. Каждую шину можно рассматривать как два последовательно соединенных резистора сопротивлением $R/2$. Лампочка 1 подключена между серединами шин, а лампочка 2 — между их концами.

Обозначим узлы схемы: P и Q — точки подключения к источнику, A и B — середины шин, C и D — концы шин. Тогда сопротивления участков будут:

$R_{PA} = R_{AC} = R/2 = 10/2 = 5$ Ом (верхняя шина)

$R_{QB} = R_{BD} = R/2 = 10/2 = 5$ Ом (нижняя шина)

Сопротивление первой лампочки (между A и B) $R_{AB} = R_л = 20$ Ом.

Сопротивление второй лампочки (между C и D) $R_{CD} = R_л = 20$ Ом.

Схема обладает симметрией относительно горизонтальной оси. Это позволяет упростить расчёты. Обозначим напряжение на внешней цепи (между точками P и Q) как $U_{ext}$. Примем потенциал точки Q равным нулю ($V_Q=0$), тогда потенциал точки P равен $U_{ext}$ ($V_P=U_{ext}$).

Из-за симметрии для потенциалов в симметричных точках выполняются соотношения:

$V_P - V_A = V_B - V_Q \implies U_{ext} - V_A = V_B \implies V_A + V_B = U_{ext}$

$V_P - V_C = V_D - V_Q \implies U_{ext} - V_C = V_D \implies V_C + V_D = U_{ext}$

Запишем уравнения первого закона Кирхгофа (закона токов) для узлов A и C.

Для узла A: ток, входящий из P, равен сумме токов, выходящих в B и C.

$\frac{V_P - V_A}{R_{PA}} = \frac{V_A - V_B}{R_{AB}} + \frac{V_A - V_C}{R_{AC}}$

$\frac{U_{ext} - V_A}{5} = \frac{V_A - V_B}{20} + \frac{V_A - V_C}{5}$

Используя $V_B = U_{ext} - V_A$, получаем:

$\frac{U_{ext} - V_A}{5} = \frac{V_A - (U_{ext} - V_A)}{20} + \frac{V_A - V_C}{5}$

$\frac{U_{ext} - V_A}{5} = \frac{2V_A - U_{ext}}{20} + \frac{V_A - V_C}{5}$

Умножим обе части на 20:

$4(U_{ext} - V_A) = 2V_A - U_{ext} + 4(V_A - V_C)$

$4U_{ext} - 4V_A = 6V_A - U_{ext} - 4V_C$

$5U_{ext} = 10V_A - 4V_C$ (1)

Для узла C: ток, входящий из A, равен току, выходящему в D, так как шина заканчивается в точке C.

$\frac{V_A - V_C}{R_{AC}} = \frac{V_C - V_D}{R_{CD}}$

$\frac{V_A - V_C}{5} = \frac{V_C - V_D}{20}$

Используя $V_D = U_{ext} - V_C$, получаем:

$\frac{V_A - V_C}{5} = \frac{V_C - (U_{ext} - V_C)}{20} = \frac{2V_C - U_{ext}}{20}$

Умножим обе части на 20:

$4(V_A - V_C) = 2V_C - U_{ext}$

$4V_A - 4V_C = 2V_C - U_{ext}$

$4V_A - 6V_C = -U_{ext}$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $V_A$ и $V_C$. Решим её. Из уравнения (2) выразим $V_A$:

$4V_A = 6V_C - U_{ext} \implies V_A = \frac{6V_C - U_{ext}}{4}$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$5U_{ext} = 10\left(\frac{6V_C - U_{ext}}{4}\right) - 4V_C$

$5U_{ext} = \frac{5}{2}(6V_C - U_{ext}) - 4V_C$

$5U_{ext} = 15V_C - 2.5U_{ext} - 4V_C$

$7.5U_{ext} = 11V_C \implies V_C = \frac{7.5}{11}U_{ext} = \frac{15}{22}U_{ext}$

Теперь найдем $V_A$:

$V_A = \frac{6(\frac{15}{22}U_{ext}) - U_{ext}}{4} = \frac{\frac{90}{22}U_{ext} - \frac{22}{22}U_{ext}}{4} = \frac{\frac{68}{22}U_{ext}}{4} = \frac{17}{22}U_{ext}$

Теперь найдем общее сопротивление внешней цепи $R_{ext}$. Общий ток $I_{total}$ равен сумме токов в начальных участках шин:

$I_{total} = I_{PA} + I_{QB} = \frac{V_P - V_A}{R_{PA}} + \frac{V_B - V_Q}{R_{QB}}$

Так как $V_B = U_{ext} - V_A$, то $V_B - V_Q = U_{ext} - V_A$. Значит $I_{PA} = I_{QB}$.

$I_{total} = 2 \frac{U_{ext} - V_A}{5} = 2 \frac{U_{ext} - \frac{17}{22}U_{ext}}{5} = 2 \frac{\frac{5}{22}U_{ext}}{5} = \frac{2}{22}U_{ext} = \frac{1}{11}U_{ext}$

Эквивалентное сопротивление внешней цепи:

$R_{ext} = \frac{U_{ext}}{I_{total}} = \frac{U_{ext}}{(\frac{1}{11}U_{ext})} = 11$ Ом

По закону Ома для полной цепи, общий ток равен:

$I_{total} = \frac{\mathcal{E}}{R_{ext} + r} = \frac{150}{11 + 8} = \frac{150}{19}$ А

Напряжение на внешней цепи:

$U_{ext} = I_{total} \cdot R_{ext} = \frac{150}{19} \cdot 11 = \frac{1650}{19}$ В

Теперь мы можем найти ток $I_1$ через первую лампочку:

$I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_{AB}} = \frac{V_A - (U_{ext} - V_A)}{R_л} = \frac{2V_A - U_{ext}}{R_л}$

$I_1 = \frac{2(\frac{17}{22}U_{ext}) - U_{ext}}{20} = \frac{\frac{17}{11}U_{ext} - U_{ext}}{20} = \frac{\frac{6}{11}U_{ext}}{20} = \frac{6}{220}U_{ext} = \frac{3}{110}U_{ext}$

Подставляем значение $U_{ext}$:

$I_1 = \frac{3}{110} \cdot \frac{1650}{19} = \frac{3 \cdot 15}{19} = \frac{45}{19} \approx 2,37$ А

Ответ: $I_1 = \frac{45}{19}$ А, что примерно равно $2,37$ А.