Номер 1068, страница 197 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два гальванических элемента соединены параллельно.

ЭДС первого элемента: $\mathscr{E}_1$

ЭДС второго элемента: $\mathscr{E}_2$

Внутреннее сопротивление первого элемента: $r_1$

Внутреннее сопротивление второго элемента: $r_2$

По условию, $r_1 = r_2 = r$.

Найти:

$U_1$ – напряжение между полюсами при соединении одноименными полюсами.

$U_2$ – напряжение между полюсами при соединении разноименными полюсами.

Решение:

Напряжение на полюсах (клеммах) источника тока определяется по формуле $U = \mathscr{E} - Ir$, где $I$ – ток, протекающий через источник. Если ток течет в обратном направлении (источник заряжается), то $U = \mathscr{E} + Ir$.

а) одноименными полюсами

При параллельном соединении одноименными полюсами (положительный к положительному, отрицательный к отрицательному) напряжение на зажимах обоих элементов одинаково и равно напряжению батареи $U_1$.

Для первого элемента ток, который он отдает, равен $I_1 = \frac{\mathscr{E}_1 - U_1}{r}$.

Для второго элемента ток, который он отдает, равен $I_2 = \frac{\mathscr{E}_2 - U_1}{r}$.

Так как элементы соединены только друг с другом (внешняя цепь разомкнута), то по первому правилу Кирхгофа для узла, сумма токов равна нулю:

$I_1 + I_2 = 0$

Подставим выражения для токов:

$\frac{\mathscr{E}_1 - U_1}{r} + \frac{\mathscr{E}_2 - U_1}{r} = 0$

Умножим обе части уравнения на $r$:

$\mathscr{E}_1 - U_1 + \mathscr{E}_2 - U_1 = 0$

$2U_1 = \mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2$

$U_1 = \frac{\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2}{2}$

Ответ: $U_1 = \frac{\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2}{2}$

б) разноименными полюсами

При соединении разноименными полюсами (положительный полюс одного элемента к отрицательному другого) элементы образуют замкнутый контур. В этом контуре ЭДС направлены согласно (в одну сторону по контуру), поэтому суммарная ЭДС, действующая в контуре, равна $\mathscr{E}_{общ} = \mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2$.

Полное сопротивление контура равно сумме внутренних сопротивлений: $R_{общ} = r_1 + r_2 = 2r$.

По закону Ома для полной цепи, в контуре потечет ток:

$I = \frac{\mathscr{E}_{общ}}{R_{общ}} = \frac{\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2}{2r}$

Напряжение $U_2$ между полюсами (точками соединения) будет одинаковым для обоих элементов. Найдем это напряжение на зажимах первого элемента. Так как ток течет через элемент (элемент разряжается), используем формулу:

$U_2 = \mathscr{E}_1 - Ir$

Подставим найденное значение тока $I$:

$U_2 = \mathscr{E}_1 - \frac{\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2}{2r} \cdot r$

$U_2 = \mathscr{E}_1 - \frac{\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2}{2}$

$U_2 = \frac{2\mathscr{E}_1 - (\mathscr{E}_1 + \mathscr{E}_2)}{2} = \frac{2\mathscr{E}_1 - \mathscr{E}_1 - \mathscr{E}_2}{2} = \frac{\mathscr{E}_1 - \mathscr{E}_2}{2}$

Если $\mathscr{E}_2 > \mathscr{E}_1$, то напряжение будет отрицательным, что означает, что потенциал точки, к которой подключен положительный полюс второго элемента, выше. Модуль напряжения будет $|U_2| = \frac{|\mathscr{E}_1 - \mathscr{E}_2|}{2}$.

Ответ: $U_2 = \frac{\mathscr{E}_1 - \mathscr{E}_2}{2}$