Номер 1063, страница 196 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр кольца $D = 2,0 \text{ м}$
ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 2,0 \text{ В}$
Внутреннее сопротивление источника $r = 1,5 \text{ Ом}$
Удельное сопротивление проволоки $\rho = 1,5 \text{ мкОм} \cdot \text{м}$
Площадь поперечного сечения проволоки $S = 1,0 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ:
$D = 2,0 \text{ м}$
$\mathcal{E} = 2,0 \text{ В}$
$r = 1,5 \text{ Ом}$
$\rho = 1,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$S = 1,0 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Напряжение между точками а и b, $U_{ab}$.

Решение:

Согласно условию, источник тока расположен в центре кольца и соединен с точками a и b на кольце проводами. Это означает, что внешняя цепь состоит из двух подводящих проводов (от центра к кольцу) и самого кольца, которое, в свою очередь, представляет собой два параллельно соединенных полукольца.

1. Определим сопротивление подводящих проводов. Длина каждого из двух проводов равна радиусу кольца $R = D/2 = 2,0 \text{ м} / 2 = 1,0 \text{ м}$. Поскольку они подключены последовательно с остальной частью внешней цепи, их общая длина составляет $L_{conn} = 2R = D = 2,0 \text{ м}$.

Сопротивление подводящих проводов $R_{conn}$ вычисляется по формуле:

$R_{conn} = \rho \frac{L_{conn}}{S} = \rho \frac{D}{S}$

$R_{conn} = 1,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{2,0 \text{ м}}{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = 3,0 \text{ Ом}$

2. Теперь найдем сопротивление самого кольца. Точки a и b делят кольцо на две одинаковые дуги (полукольца), которые подключены параллельно. Длина каждого полукольца $L_{semi}$ равна половине длины окружности:

$L_{semi} = \frac{\pi D}{2} = \frac{\pi \cdot 2,0 \text{ м}}{2} = \pi \text{ м}$

Сопротивление одного полукольца $R_{semi}$:

$R_{semi} = \rho \frac{L_{semi}}{S} = 1,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{\pi \text{ м}}{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = 1,5\pi \text{ Ом}$

Общее сопротивление кольца $R_{ring}$ при параллельном соединении двух одинаковых сопротивлений $R_{semi}$ равно:

$R_{ring} = \frac{R_{semi}}{2} = \frac{1,5\pi}{2} = 0,75\pi \text{ Ом}$

3. Полное внешнее сопротивление цепи $R_{ext}$ является суммой сопротивления подводящих проводов и сопротивления кольца, так как они соединены последовательно:

$R_{ext} = R_{conn} + R_{ring} = (3,0 + 0,75\pi) \text{ Ом}$

4. Общее сопротивление всей цепи $R_{total}$ равно сумме внешнего и внутреннего сопротивлений:

$R_{total} = R_{ext} + r = (3,0 + 0,75\pi + 1,5) \text{ Ом} = (4,5 + 0,75\pi) \text{ Ом}$

5. Используя закон Ома для полной цепи, найдем силу тока $I$, создаваемого источником:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{total}} = \frac{2,0 \text{ В}}{(4,5 + 0,75\pi) \text{ Ом}}$

6. Напряжение $U_{ab}$ между точками a и b - это напряжение на участке цепи, состоящем из двух параллельных полуколец. Через этот участок протекает общий ток $I$. Таким образом, напряжение $U_{ab}$ можно найти по закону Ома для этого участка:

$U_{ab} = I \cdot R_{ring} = \frac{\mathcal{E}}{R_{total}} \cdot R_{ring} = \frac{\mathcal{E} \cdot R_{ring}}{r + R_{conn} + R_{ring}}$

Подставим известные значения в формулу:

$U_{ab} = \frac{2,0 \text{ В} \cdot 0,75\pi \text{ Ом}}{(4,5 + 0,75\pi) \text{ Ом}} = \frac{1,5\pi}{4,5 + 0,75\pi} \text{ В}$

Выполним вычисления, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$U_{ab} = \frac{1,5 \cdot 3,1416}{4,5 + 0,75 \cdot 3,1416} = \frac{4,7124}{4,5 + 2,3562} = \frac{4,7124}{6,8562} \approx 0,687 \text{ В}$

Округляя результат до двух значащих цифр в соответствии с данными задачи, получаем:

Ответ: $U_{ab} \approx 0,69 \text{ В}$.