Номер 1044, страница 192 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Фигура из проволоки в виде квадрата со стороной $a$ и проведенными диагоналями.

Сопротивление единицы длины проволоки: $\rho$.

Точки подключения к цепи: A и B (противоположные вершины квадрата).

Найти:

Общее сопротивление фигуры $R$ между точками А и В.

Решение:

Обозначим вершины квадрата A, B, C, D, где A и B — точки подключения, являющиеся противоположными вершинами. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

Сопротивление каждого из четырех отрезков проволоки, образующих стороны квадрата (AC, CB, BD, DA), одинаково и равно $R_{ст} = \rho a$.

Диагонали квадрата делятся точкой пересечения O пополам. Длина каждой полудиагонали (AO, BO, CO, DO) равна $l_{пд} = \frac{\sqrt{a^2+a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Соответственно, сопротивление каждой полудиагонали равно $R_{пд} = \rho l_{пд} = \rho \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Задача обладает симметрией. Ось симметрии проходит через вершины C и D и центр O (диагональ CD). Если приложить напряжение между точками A и B, то из-за симметрии схемы потенциалы точек, лежащих на оси симметрии CD, будут одинаковы. То есть, потенциалы в точках C, D и O будут равны.

Пусть потенциал в точке A равен $V_A$, а в точке B равен $V_B$. Тогда потенциалы в точках C, D и O будут равны среднему арифметическому потенциалов A и B: $V_C = V_D = V_O = \frac{V_A + V_B}{2}$.

Это означает, что мы можем рассматривать всю схему как последовательное соединение двух одинаковых участков:

1. Участок от точки A до эквипотенциальной линии, проходящей через точки C, O, D.

2. Участок от эквипотенциальной линии C-O-D до точки B.

Найдем сопротивление первого участка, $R_1$. Он состоит из трех резисторов, подключенных параллельно между точкой A и линией C-O-D:

• отрезок стороны AC с сопротивлением $R_{AC} = \rho a$;

• отрезок стороны AD с сопротивлением $R_{AD} = \rho a$;

• отрезок полудиагонали AO с сопротивлением $R_{AO} = \rho \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Общая проводимость этого участка равна сумме проводимостей параллельных ветвей:

$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{R_{AC}} + \frac{1}{R_{AD}} + \frac{1}{R_{AO}} = \frac{1}{\rho a} + \frac{1}{\rho a} + \frac{1}{\rho \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{1}{R_1} = \frac{2}{\rho a} + \frac{2}{\rho a\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{\rho a\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{\rho a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\rho a} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\rho a}$

Отсюда находим сопротивление первого участка:

$R_1 = \frac{\rho a}{2 + \sqrt{2}}$

В силу симметрии, сопротивление второго участка $R_2$ (от линии C-O-D до точки B) равно сопротивлению первого участка: $R_2 = R_1$.

Общее сопротивление всей фигуры $R$ равно сумме сопротивлений этих двух участков, так как они соединены последовательно:

$R = R_1 + R_2 = 2R_1 = 2 \cdot \frac{\rho a}{2 + \sqrt{2}}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 - \sqrt{2})$:

$R = \frac{2 \rho a (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 \rho a (2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 \rho a (2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2 \rho a (2 - \sqrt{2})}{2}$

$R = \rho a (2 - \sqrt{2})$

Ответ: $R = \rho a (2 - \sqrt{2})$.