Номер 1036, страница 191 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Отношение силы тока при параллельном и последовательном подключении: $k = \frac{I_{пар}}{I_{посл}} = 6,3$

Найти:

Отношение сопротивлений проводников: $n = \frac{R_1}{R_2}$

Решение:

Пусть сопротивления двух проводников равны $R_1$ и $R_2$, а напряжение в сети, к которой они подключаются, равно $U$.

1. При последовательном подключении общее сопротивление цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Сила тока в цепи при последовательном подключении, согласно закону Ома, равна:

$I_{посл} = \frac{U}{R_{посл}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$

2. При параллельном подключении общее сопротивление цепи $R_{пар}$ находится из соотношения:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Отсюда $R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Сила тока в цепи при параллельном подключении равна:

$I_{пар} = \frac{U}{R_{пар}} = \frac{U(R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$

3. По условию задачи, сила тока при последовательном подключении в $k = 6,3$ раза меньше, чем при параллельном. Это можно записать как:

$I_{пар} = k \cdot I_{посл}$

Подставим выражения для силы тока в это соотношение:

$\frac{U(R_1 + R_2)}{R_1 R_2} = k \cdot \frac{U}{R_1 + R_2}$

Сократим напряжение $U$ в обеих частях уравнения и преобразуем его:

$\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} = \frac{k}{R_1 + R_2}$

$(R_1 + R_2)^2 = k \cdot R_1 R_2$

4. Нам нужно найти отношение сопротивлений $n = \frac{R_1}{R_2}$ (будем считать, что $n \ge 1$). Разделим обе части полученного уравнения на $R_2^2$:

$\frac{(R_1 + R_2)^2}{R_2^2} = k \cdot \frac{R_1 R_2}{R_2^2}$

$(\frac{R_1}{R_2} + \frac{R_2}{R_2})^2 = k \cdot \frac{R_1}{R_2}$

Введем обозначение $n = \frac{R_1}{R_2}$. Тогда уравнение примет вид:

$(n + 1)^2 = k \cdot n$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2+bn+c=0$:

$n^2 + 2n + 1 = kn$

$n^2 + (2 - k)n + 1 = 0$

5. Подставим заданное значение $k = 6,3$:

$n^2 + (2 - 6,3)n + 1 = 0$

$n^2 - 4,3n + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4,3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 18,49 - 4 = 14,49$

Корни уравнения находятся по формуле:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4,3 \pm \sqrt{14,49}}{2}$

Вычислим приближенное значение корня из дискриминанта: $\sqrt{14,49} \approx 3,807$.

Найдем два корня:

$n_1 = \frac{4,3 + \sqrt{14,49}}{2} \approx \frac{4,3 + 3,807}{2} = \frac{8,107}{2} \approx 4,05$

$n_2 = \frac{4,3 - \sqrt{14,49}}{2} \approx \frac{4,3 - 3,807}{2} = \frac{0,493}{2} \approx 0,25$

Оба корня являются решениями ($n_1 = R_1/R_2$ и $n_2 = R_2/R_1 = 1/n_1$). Вопрос "во сколько раз отличаются сопротивления" подразумевает нахождение отношения большего сопротивления к меньшему, поэтому выбираем корень, который больше единицы.

Ответ: Сопротивления проводников отличаются в $n = \frac{4,3 + \sqrt{14,49}}{2}$ раза, что приблизительно равно 4,05.